卷四

○少廣(以御積冪方圓)
少廣
〔淳風等按:一畝之田,廣一步,長二百四十步。今欲截取其從少,以益其
廣,故曰少廣。〕
術曰:置全步及分母子,以最下分母遍乘諸分子及全步,
〔淳風等按:以分母乘全步者,通其分也;以母乘子者,齊其子也。〕
各以其母除其子,置之於左,命通分者,又以分母遍乘諸分子及已通者,皆
通而同之。並之為法。
〔淳風等按:諸子悉通,故可並之為法。亦宜用合分術,列數尤多,若用乘
則算數至繁,故別制此術,從省約。〕
置所求步數,以全步積分乘之為實。
〔此以田廣為法,以畝積步為實。法有分者,當同其母,齊其子,以同乘法
實,而並齊於法。今以分母乘全步及子,子如母而一,並以並全法,則法實俱長,
意亦等也。故如法而一,得從步數。〕
實如法而一,得從步。
今有田廣一步半。求田一畝,問從幾何?答曰:一百六十步。
術曰:下有半,是二分之一。以一為二,半為一,並之,得三,為法。置田
二百四十步,亦以一為二乘之,為實。實如法得從步。
今有田廣一步半、三分步之一。求田一畝,問從幾何?答曰:一百三十步一
十一分步之一十。
術曰:下有三分,以一為六,半為三,三分之一為二,並之,得一十一,為
法。置田二百四十步,亦以一為六乘之,為實。實如法得從步。
今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一。求田一畝,問從幾何?答曰:
一百一十五步五分步之一。
術曰:下有四分,以一為一十二,半為六,三分之一為四,四分之一為三,
並之,得二十五,以為法。置田二百四十步,亦以一為一十二乘之,為實。實如
法而一,得從步。
今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一。求田一畝,問從
幾何?答曰:一百五步一百三十七分步之一十五。
術曰:下有五分,以一為六十,半為三十,三分之一為二十,四分之一為一
十五,五分之一為一十二,並之,得一百三十七,以為法。置田二百四十步,亦
以一為六十乘之,為實。實如法得從步。
今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一。求
田一畝,問從幾何?答曰:九十七步四十九分步之四十七。
術曰:下有六分,以一為一百二十,半為六十,三分之一為四十,四分之一
為三十,五分之一為二十四,六分之一為二十,並之,得二百九十四,以為法。
置田二百四十步,亦以一為一百二十乘之,為實。實如法得從步。
今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七
分步之一。求田一畝,問從幾何?答曰:九十二步一百二十一分步之六十八。
術曰:下有七分,以一為四百二十,半為二百一十,三分之一為一百四十,
四分之一為一百五,五分之一為八十四,六分之一為七十,七分之一為六十,並
之,得一千八十九,以為法。置田二百四十步,亦以一為四百二十乘之,為實。
實如法得從步。
今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七
分步之一、八分步之一。求田一畝,問從幾何?答曰:八十八步七百六十一分步
之二百三十二。
術曰:下有八分,以一為八百四十,半為四百二十,三分之一為二百八十,
四分之一為二百一十,五分之一為一百六十八,六分之一為一百四十,七分之一
為一百二十,八分之一為一百五,並之,得二千二百八十三,以為法。置田二百
四十步,亦以一為八百四十乘之,為實。實如法得從步。
今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七
分步之一、八分步之一、九分步之一。求田一畝,問從幾何?答曰:八十四步七
千一百二十九分步之五千九百六十四。
術曰:下有九分,以一為二千五百二十,半為一千二百六十,三分之一為八
百四十,四分之一為六百三十,五分之一為五百四,六分之一為四百二十,七分
之一為三百六十,八分之一為三百一十五,九分之一為二百八十,並之,得七千
一百二十九,以為法。置田二百四十步,亦以一為二千五百二十乘之,為實。實
如法得從步。
今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七
分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一。求田一畝、問從幾何?答曰:
八十一步七千三百八十一分步之六千九百三十九。
術曰:下有一十分,以一為二千五百二十,半為一千二百六十,三分之一為
八百四十,四分之一為六百三十,五分之一為五百四,六分之一為四百二十,七
分之一為三百六十,八分之一為三百一十五,九分之一為二百八十,十分之一為
二百五十二,並之,得七千三百八十一,以為法。置田二百四十步,亦以一為二
千五百二十乘之,為實。實如法得從步。
今有田廣一步半、三分步之一、四分之步一、五分步之一、六分步之一、七
分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一。求田一畝,
問從幾何?答曰:七十九步八萬三千七百一十一分步之三萬九千六百三十一。
術曰:下有一十一分,以一為二萬七千七百二十,半為一萬三千八百六十,
三分之一為九千二百四十,四分之一為六千九百三十,五分之一為五千五百四十
四,六分之一為四千六百二十,七分之一為三千九百六十,八分之一為三千四百
六十五,九分之一為三千八十,一十分之一為二千七百七十二,一十一分之一為
二千五百二十,並之,得八萬三千七百一十一,以為法。置田二百四十步,亦以
一為二萬七千七百二十乘之,為實。實如法得從步。
今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一,五分步之一、六分步之一、七
分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一、十二分步之
一。求田一畝,問從幾何?答曰:七十七步八萬六千二十一分步之二萬九千一百
八十三。
術曰:下有一十二分,以一為八萬三千一百六十,半為四萬一千五百八十,
三分之一為二萬七千七百二十,四分之一為二萬七百九十,五分之一為一萬六千
六百三十二,六分之一為一萬三千八百六十,七分之一為一萬一千八百八十,八
分之一為一萬三百九十五,九分之一為九千二百四十,一十分之一為八千三百一
十六,十一分之一為七千五百六十,十二分之一為六千九百三十,並之,得二十
五萬八千六十三,以為法。置田二百四十步,亦以一為八萬三千一百六十乘之,
為實。實如法得從步。
〔淳風等按:凡為術之意,約省為善。宜云“下有一十二分,以一為二萬七
千七百二十,半為一萬三千八百六十,三分之一為九千二百四十,四分之一為六
千九百三十,五分之一為五千五百四十四,六分之一為四千六百二十,七分之一
為三千九百六十,八分之一為三千四百六十五,九分之一為三千八十,十分之一
為二千七百七十二,十一分之一為二千五百二十,十二分之一為二千三百一十,
並之,得八萬六千二十一,以為法。置田二百四十步,亦以一為二萬七千七百二
十乘之,以為實。實如法得從步。”其術亦得知,不繁也。〕
今有積五萬五千二百二十五步,問為方幾何?答曰:二百三十五步。
又有積二萬五千二百八十一步,問為方幾何?答曰:一百五十九步。
又有積七萬一千八百二十四步,問為方幾何?答曰:二百六十八步。
又有積五十六萬四千七百五十二步四分步之一,問為方幾何?答曰:七百五
十一步半。
又有積三十九億七千二百一十五萬六百二十五步,問為方幾何?答曰:六萬
三千二十五步。
○開方
〔求方冪之一面也。〕
術曰:置積為實。借一算,步之,超一等。
〔言百之面十也。言萬之面百也。〕
議所得,以一乘所借一算為法,而以除。
〔先得黃甲之面,上下相命,是自乘而除也。〕
除已,倍法為定法。
〔倍之者,豫張兩面朱冪定袤,以待覆除,故曰定法。〕
其復除,折法而下。
〔欲除朱冪者,本當副置所得成方,倍之為定法,以折、議、乘,而以除。
如是當復步之而止,乃得相命。故使就上折下。〕
復置借算,步之如初。以複議一乘之,
〔欲除朱冪之角黃乙之冪,其意如初之所得也。〕
所得副以加定法,以除。以所得副從定法。
〔再以黃乙之面加定法者,是則張兩青冪之袤。〕
復除,折下如前。若開之不盡者,為不可開,當以面命之。
〔術或有以借算加定法而命分者,雖粗相近,不可用也。凡開積為方,方之
自乘當還復有積分。令不加借算而命分,則常微少;其加借算而命分,則又微多。
其數不可得而定。故惟以面命之,為不失耳。譬猶以三除十,以其餘為三分之一,
而復其數可以舉。不以面命之,加定法如前,求其微數。微數無名者以為分子,
其一退以十為母,其再退以百為母。退之彌下,其分彌細,則朱冪雖有所棄之數,
不足言之也。〕
若實有分者,通分內子為定實,乃開之。訖,開其母,報除。
〔淳風等按:分母可開者,並通之積先合二母。既開之後,一母尚存,故開
分母,求一母為法,以報除也。〕
若母不可開者,又以母乘定實,乃開之。訖,令如母而一。
〔淳風等按:分母不可開者,本一母也。又以母乘之,乃合二母。既開之後,
亦一母存焉,故令一母而一,得全面也。
又按:此術“開方”者,求方冪之面也。借一算者,假借一算,空有列位之
名,而無除積之實。方隅得面,是故借算列之於下。“步之超一等”者,方十自
乘,其積有百,方百自乘,其積有萬,故超位,至百而言十,至萬而言百。“議
所得,以一乘所借算為法,而以除”者,先得黃甲之面,以方為積者兩相乘,故
開方除之,還令兩面上下相命,是自乘而除之。“除已,倍法為定法”者,實積
未盡,當復更除,故豫張兩面朱冪袤,以待覆除,故曰定法。“其復除,折法而
下”者,欲除朱冪,本當副置所得成方,倍之為定法,以折、議、乘之,而以除,
如是,當復步之而止,乃得相命。故使就上折之而下。“復置借算,步之如初,
以複議一乘之,所得副以加定法,以定法除”者。欲除朱冪之角黃乙之冪。“以
所得副從定法”者,再以黃乙之面加定法,是則張兩青冪之袤,故如前開之,即
合所問。〕
今有積一千五百一十八步四分步之三。問為圓周幾何?答曰:一百三十五步。
〔於徽術,當周一百三十八步一十分步之一。
淳風等按:此依密率,為周一百三十八步五十分步之九。〕
又有積三百步,問為圓周幾何?答曰:六十步。
〔於徽術,當周六十一步五十分步之十九。
淳風等按:依密率,為周六十一步一百分步之四十一。〕
開圓 術曰:置積步數,以十二乘之,以開方除之,即得周。
〔此術以周三徑一為率,與舊圓田術相返覆也。於徽術,以三百一十四乘積,
如二十五而一,所得,開方除之,即周也。開方除之,即徑。是為據見冪以求周,
猶失之於微少。其以二百乘積,一百五十七而一,開方除之,即徑,猶失之於微
多。
淳風等按:此注於徽術求周之法,其中不用“開方除之,即徑”六字,今
本有者,衍剩也。依密率,八十八乘之,七而一。按周三徑一之率,假令周六徑
二,半周半徑相乘得冪三,周六自乘得三十六。俱以等數除冪,得一周之數十二
也。其積:本周自乘,合以一乘之,十二而一,得積三也。術為一乘不長,故以
十二而一,得此積。今還原,置此積三,以十二乘之者,復其本周自乘之數。凡
物自乘,開方除之,復其本數,故開方除之,即周。〕
今有積一百八十六萬八百六十七尺,
〔此尺謂立方尺也。凡物有高、深而言積者,曰立方。〕
問為立方幾何?答曰:一百二十三尺。
又有積一千九百五十三尺八分尺之一,問為立方幾何?答曰:一十二尺半。
又有積六萬三千四百一尺五百一十二分尺之四百四十七,問為立方幾何?答
曰:三十九尺八分尺之七。
又有積一百九十三萬七千五百四十一尺二十七分尺之一十七,問為立方幾何?
答曰:一百二十四尺太半尺。
開立方
〔立方適等,求其一面也。〕
術曰:置積為實。借一算,步之,超二等。
〔言千之面十,言百萬之面百。〕
議所得,以再乘所借一算為法,而除之。
〔再乘者,亦求為方冪。以上議命而除之,則立方等也。〕
除已,三之為定法。
〔為當復除,故豫張三面,以定方冪為定法也。〕
復除,折而下。
〔復除者,三面方冪以皆自乘之數,須得折、議,定其厚薄爾。開平冪者,
方百之面十;開立冪者,方千之面十。據定法已有成方之冪,故復除當以千為百,
折下一等也。〕
以三乘所得數,置中行。
〔設三廉之定長。〕
復借一算,置下行。
〔欲以為隅方。立方等未有定數,且置一算定其位。〕
步之,中超一,下超二等。
〔上方法,長自乘而一折,中廉法,但有長,故降一等;下隅法,無面長,
故又降一等也。〕
復置議,以一乘中,
〔為三廉備冪也。〕
再乘下,
〔令隅自乘,為方冪也。〕
皆副以加定法。以定法除。
〔三面、三廉、一隅皆已有冪,以上議命之而除,去三冪之厚也。〕
除已,倍下,並中,從定法。
〔凡再以中、三以下,加定法者,三廉各當以兩面之冪連於兩方之面,一隅
連於三廉之端,以待覆除也。言不盡意,解此要當以棋,乃得明耳。〕
復除,折下如前。開之不盡者,亦為不可開。
〔術亦有以定法命分者,不如故冪開方,以微數為分也。〕
若積有分者,通分內子為定實。定實乃開之。訖,開其母以報除。
〔淳風等按:分母可開者,並通之積先合三母。既開之後一母尚存,故開分
母,求一母,為法,以報除也。〕
若母不可開者,又以母再乘定實,乃開之。訖,令如母而一。
〔淳風等按:分母不可開者,本一母也。又以母再乘之,令合三母。既開之
後,一母猶存,故令一母而一,得全面也。
按:“開立方”知,立方適等,求其一面之數。“借一算,步之,超二等”
者,但立方求積,方再自乘,就積開之,故超二等,言千之面十,言百萬之面百。
“議所得,以再乘所借算為法,而以除”知,求為方冪,以議命之而除,則立方
等也。“除已,三之為定法”,為積未盡,當復更除,故豫張三面已定方冪為定
法。“復除,折而下”知,三面方冪皆已有自乘之數,須得折、議定其厚薄。據
開平方,百之面十,其開立方,即千之面十。而定法已有成方之冪,故復除之者,
當以千為百,折下一等。“以三乘所得數,置中行”者,設三廉之定長。“復借
一算,置下行”者,欲以為隅方,立方等未有數,且置一算定其位也。“步之,
中超一,下超二”者,上方法長自乘而一折,中廉法但有長,故降一等,下隅法
無面長,故又降一等。“復置議,以一乘中”者,為三廉備冪。“再乘下”,當
令隅自乘為方冪。“皆副以加定法,以定法除者,三面、三廉、一隅皆已有冪,
以上議命之而除,去三冪之厚。“除已,倍下、並中,從定法”者,三廉各當以
兩面之冪連於兩方之面,一隅連於三廉之端,以待覆除。其開之不盡者,折下如
前,開方,即合所問。“有分者,通分內子開之。訖,開其母以報除”,“可開
者,並通之積,先合三母;既開之後,一母尚存,故開分母”者,“求一母為法,
以報除。”“若母不可開者,又以母再乘定實,乃開之。訖,令如母而一”,分
母不可開者,本一母,又以母再乘,令合三母,既開之後,亦一母尚存。故令如
母而一,得全面也。〕
今有積四千五百尺。
〔亦謂立方之尺也。〕
問為立圓徑幾何?答曰:二十尺。
〔依密率,立圓徑二十尺,計積四千一百九十尺二十一分尺之一十。〕
又有積一萬六千四百四十八億六千六百四十三萬七千五百尺。問為立圓徑幾
何?答曰:一萬四千三百尺。
〔依密率,為徑一萬四千六百四十三尺四分尺之三。〕
開立圓 術曰:置積尺數,以十六乘之,九而一,所得,開立方除之,即立
圓徑。
〔立圓,即丸也。為術者,蓋依周三徑一之率。令圓冪居方冪四分之三,圓
囷居立方亦四分之三。更令圓囷為方率十二,為丸率九,丸居圓囷又四分之三也。
置四分自乘得十六,三分自乘得九,故丸居立方十六分之九也。故以十六乘積,
九而一,得立方之積。丸徑與立方等,故開立方而除,得徑也。然此意非也。何
以驗之?取立方棋八枚,皆令立方一寸,積之為立方二寸。規之為圓囷,徑二寸,
高二寸。又復橫因之,則其形有似牟合方蓋矣。八棋皆似陽馬,圓然也。按:合
蓋者,方率也,丸居其中,即圓率也。推此言之,謂夫圓囷為方率,豈不闕哉?
以周三徑一為圓率,則圓冪傷少;令圓囷為方率,則丸積傷多,互相通補,是以
九與十六之率偶與實相近,而丸猶傷多耳。觀立方之內,合蓋之外,雖衰殺有漸,
而多少不掩。判合總結,方圓相纏,濃纖詭互,不可等正。欲陋形措意,懼失正
理。敢不闕疑,以俟能言者。
黃金方寸,重十六兩;金丸徑寸,重九兩,率生於此,未曾驗也。《周官·
考工記》:“朅氏為量,改煎金錫則不耗,不耗然後權之,權之然後準之,準之
然後量之。”言鍊金使極精,而後分之則可以為率也。令丸逕自乘,三而一,開
方除之,即丸中之立方也。假令丸中立方五尺,五尺為句,句自乘冪二十五尺。
倍之得五十尺,以為弦冪,謂平面方五尺之弦也。以此弦為股,亦以五尺為句,
並句股冪得七十五尺,是為大弦冪。開方除之,則大弦可知也。大弦則中立方之
長邪,邪即丸徑。故中立方自乘之冪於丸逕自乘之冪,三分之一也。今大弦還乘
其冪,即丸外立方之積也。大弦冪開之不盡,令其冪七十五再自乘之,為面,命
得外立方積,四十二萬一千八百七十五尺之面。又令中立方五尺自乘,又以方乘
之,得積一百二十五尺,一百二十五尺自乘,為面,命得積,一萬五千六百二十
五尺之面。皆以六百二十五約之,外立方積,六百七十五尺之面,中立方積,二
十五尺之面也。
張衡算又謂立方為質,立圓為渾。衡言質之與中外之渾:六百七十五尺之面,
開方除之,不足一,謂外渾積二十六也;內渾,二十五之面,謂積五尺也。今徽
令質言中渾,渾又言質,則二質相與之率猶衡二渾相與之率也。衡蓋亦先二質之
率推以言渾之率也。衡又言:“質,六十四之面;渾,二十五之面。”質復言渾,
謂居質八分之五也。又云:方,八之面;圓,五之面。”圓渾相推,知其復以圓
囷為方率,渾為圓率也,失之遠矣。衡說之自然欲協其陰陽奇偶之說而不顧疏密
矣。雖有文辭,斯亂道破義,病也。置外質積二十六,以九乘之,十六而一,得
積十四尺八分尺之五,即質中之渾也。以分母乘全內子,得一百一十七。又置內
質積五,以分母乘之,得四十,是謂質居渾一百一十七分之四十,而渾率猶為傷
多也。假令方二尺,方四面,並得八尺也,謂之方周。其中令圓徑與方等,亦二
尺也。圓半徑以乘圓周之半,即圓冪也。半方以乘方周之半,即方冪也。然則方
周知,方冪之率也;圓周知,圓冪之率也。按:如衡術,方周率八之面,圓周率
五之面也。令方周六十四尺之面,圓周四十尺之面也。又令徑二尺自乘,得徑四
尺之面,是為圓周率十之面,而徑率一之面也。衡亦以周三徑一之率為非,是故
更著此法,然增周太多,過其實矣。
淳風等按:祖暅之謂劉徽、張衡二人皆以圓囷為方率,丸為圓率,乃設新
法。祖暅之開立圓術曰:“以二乘積,開立方除之,即立圓徑。其意何也?取
立方棋一枚,令立樞於左後之下隅,從規去其右上之廉;又合而衡規之,去其前
上之廉。於是立方之棋分而為四,規內棋一,謂之內棋;規外棋三,謂之外棋。
規更合四棋,復橫斷之。以句股言之,令余高為句,內棋斷上方為股,本方之數,
其弦也。句股之法:以句冪減弦冪,則余為股冪。若令余高自乘,減本方之冪,
余即內棋斷上方之冪也。本方之冪即此四棋之斷上冪。然則余高自乘,即外三棋
之斷上冪矣。不問高卑,勢皆然也。然固有所歸同而途殊者爾。而乃控遠以演類,
借況以析微。按:陽馬方高數參等者,倒而立之,橫截去上,則高自乘與斷上冪
數亦等焉。夫疊棋成立積,緣冪勢既同,則積不容異。由此觀之,規之外三棋旁
蹙為一,即一陽馬也。三分立方,則陽馬居一,內棋居二可知矣。合八小方成一
大方,合八內棋成一合蓋。內棋居小方三分之二,則合蓋居立方亦三分之二,較
然驗矣。置三分之二,以圓冪率三乘之,如方冪率四而一,約而定之,以為丸率。
故曰丸居立方二分之一也。”等數既密,心亦昭晢。張衡放舊,貽哂於後,劉徽
循故,未暇校新。夫豈難哉,抑未之思也。依密率,此立圓積,本以圓徑再自乘,
十一乘之,二十一而一,得此積。今欲求其本積,故以二十一乘之,十一而一。
凡物再自乘,開立方除之,復其本數。故立方除之,即丸徑也。〕
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