卷五

○商功(以御功程積實)
今有穿地,積一萬尺。問為堅、壤各幾何?答曰:為堅七千五百尺;為壤一
萬二千五百尺。
術曰:穿地四為壤五,
〔壤謂息土。〕
為堅三,
〔堅謂築土。〕
為墟四。
〔墟謂穿坑。此皆其常率。〕
以穿地求壤,五之;求堅,三之;皆四而一。
〔今有術也。〕
以壤求穿,四之;求堅,三之;皆五而一。以堅求穿,四之;求壤,五之;
皆三而一。
〔淳風等按:此術並今有之義也。重張穿地積一萬尺,為所有數,堅率三、
壤率五各為所求率,穿率四為所有率,而今有之,即得。〕
城、垣、堤、溝、塹、渠皆同術。
術曰:並上下廣而半之,
〔損廣補狹。〕
以高若深乘之,又以袤乘之,即積尺。
〔按:此術“並上下廣而半之”者,以盈補虛,得中平之廣。“以高若深乘
之”,得一頭之立冪。“又以袤乘之”者,得立實之積,故為積尺。〕
今有穿地,袤一丈六尺,深一丈,上廣六尺,為垣積五百七十六尺。問穿地
下廣幾何?答曰:三尺五分尺之三。
術曰:置垣積尺,四之為實。
〔穿地四,為堅三。垣,堅也。以堅求穿地,當四之,三而一也。〕
以深、袤相乘,
〔為深、袤之立實也。〕
又三之,為法。
〔以深、袤乘之立實除垣積,即坑廣。又三之者,與堅率並除之。〕
所得,倍之。
〔為坑有兩廣,先並而半之,即為廣狹之中平。今先得其中平,故又倍之知,
兩廣全也。〕
減上廣,余即下廣。
〔按:此術穿地四,為堅三。垣即堅也。今以堅求穿地,當四乘之,三而一。
深、袤相乘者,為深袤立冪。以深袤立冪除積,即坑廣。又三之,為法,與堅率
並除。所得,倍之者,為坑有兩廣,先並而半之,為中平之廣。今此得中平之廣,
故倍之還為兩廣並。故減上廣,余即下廣也。〕
今有城下廣四丈,上廣二丈,高五丈,袤一百二十六丈五尺。問積幾何?答
曰:一百八十九萬七千五百尺:
今有垣下廣三尺,上廣二尺,高一丈二尺,袤二十二丈五尺八寸。問積幾何?
答曰:六千七百七十四尺。
今有堤下廣二丈,上廣八尺,高四尺,袤一十二丈七尺。問積幾何?答曰:
七千一百一十二尺。
冬程人功四百四十四尺,問用徒幾何?答曰:一十六人二百一十一分人之二。
術曰:以積尺為實,程功尺數為法,實如法而一,即用徒人數。
今有溝,上廣一丈五尺,下廣一丈,深五尺,袤七丈。問積幾何?答曰:四
千三百七十五尺。
春程人功七百六十六尺,並出土功五分之一,定功六百一十二尺五分尺之四。
問用徒幾何?答曰:七人三千六十四分人之四百二十七。
術曰:置本人功,去其五分之一,余為法。
〔“去其五分之一”者,謂以四乘,五除也。〕
以溝積尺為實,實如法而一,得用徒人數。
〔按:此術“置本人功,去其五分之一”者,謂以四乘之,五而一,除去出
土之功,取其定功。乃通分內子以為法。以分母乘溝積尺為實者,法里有分,實
里通之,故實如法而一,即用徒人數。此以一人之積尺除其眾尺,故用徒人數。
不盡者,等數約之而命分也。〕
今有塹,上廣一丈六尺三寸,下廣一丈,深六尺三寸,袤一十三丈二尺一寸。
問積幾何?答曰:一萬九百四十三尺八寸。
〔八寸者,謂穿地方尺,深八寸。此積余有方尺中二分四厘五毫,棄之。文
欲從易,非其常定也。〕
夏程人功八百七十一尺,並出土功五分之一,沙礫水石之功作太半,定功二
百三十二尺一十五分尺之四。問用徒幾何?答曰:四十七人三千四百八十四分人
之四百九。
術曰:置本人功,去其出土功五分之一,又去沙礫水石之功太半,余為法。
以塹積尺為實。實如法而一,即用徒人數。
〔按:此術“置本人功,去其出土功五分之一”者,謂以四乘,五除。“又
去沙礫水石作太半”者,一乘,三除,存其少半,取其定功。乃通分內子以為法。
以分母乘塹積尺為實者,為法里有分,實里通之,故實如法而一,即用徒人數。
不盡者,等數約之而命分也。〕
今有穿渠,上廣一丈八尺,下廣三尺六寸,深一丈八尺,袤五萬一千八百二
十四尺。問積幾何?答曰:一千七萬四千五百八十五尺六寸。
秋程人功三百尺,問用徒幾何?答曰:三萬三千五百八十二人,功內少一十
四尺四寸。
一千人先到,問當受袤幾何?答曰:一百五十四丈三尺二寸八十一分寸之八。
術曰:以一人功尺數乘先到人數為實。
〔以一千人一日功為實。立實為功。〕
並渠上下廣而半之,以深乘之,為法。
〔以渠廣深之立實為法。〕
實如法得袤尺。
今有方堡壔,
〔堡者,堡城也;壔,音丁老反,又音纛,謂以土擁木也。〕
方一丈六尺,高一丈五尺。問積幾何?答曰:三千八百四十尺。
術曰:方自乘,以高乘之,即積尺。
今有圓堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺。問積幾何?答曰:二千一百一十二
尺。
〔於徽術,當積二千一十七尺一百五十七分尺之一百三十一。
淳風等按:依密率,積二千一十六尺。〕
術曰:周自相乘,以高乘之,十二而一。
〔此章諸術亦以周三徑一為率,皆非也。於徽術當以周自乘,以高乘之,又
以二十五乘之,三百一十四而一。此之圓冪亦如圓田之冪也。求冪亦如圓田,而
以高乘冪也。
淳風等按:依密率,以七乘之,八十八而一。〕
今有方亭,下方五丈,上方四丈,高五丈。問積幾何?答曰:一十萬一千六
百六十六尺太半尺。
術曰:上下方相乘,又各自乘,並之,以高乘之,三而一。
〔此章有塹堵、陽馬,皆合而成立方。蓋說算者乃立棋三品,以效高深之積。
假令方亭,上方一尺,下方三尺,高一尺。其用棋也,中央立方一,四面塹堵四,
四角陽馬四。上下方相乘為三尺,以高乘之,得積三尺,是為得中央立方一,四
面塹堵各一。下方自乘為九,以高乘之,得積九尺。是為中央立方一、四面塹堵
各二、四角陽馬各三也。上方自乘,以高乘之,得積一尺,又為中央立方一。凡
三品棋皆一而為三,故三而一,得積尺。用棋之數:立方三、塹堵陽馬各十二,
凡二十七,棋十三。更差次之,而成方亭者三,驗矣。為術又可令方差自乘,以
高乘之,三而一,即四陽馬也;上下方相乘,以高乘之,即中央立方及四面塹堵
也。並之,以為方亭積數也。〕
今有圓亭,下周三丈,上周二丈,高一丈。問積幾何?答曰:五百二十七尺
九分尺之七。
〔於徽術,當積五百四尺四百七十一分尺之一百一十六也。
淳風等按:依密率,為積五百三尺三十三分尺之二十六。〕
術曰:上下周相乘,又各自乘,並之,以高乘之,三十六而一。
〔此術周三徑一之義。合以三除上下周,各為上下徑。以相乘,又各自乘,
並,以高乘之,三而一,為方亭之積。假令三約上下周俱不盡,還通之,即各為
上下徑。令上下徑相乘,又各自乘,並,以高乘之,為三方亭之積分。此合分母
三相乘得九,為法,除之。又三而一,得方亭之積。從方亭求圓亭之積,亦猶方
冪中求圓冪。乃令圓率三乘之,方率四而一,得圓亭之積。前求方亭之積,乃以
三而一;今求圓亭之積,亦合三乘之。二母既同,故相準折,惟以方冪四乘分母
九,得三十六,而連除之。於徽術,當上下周相乘,又各自乘,並,以高乘之,
又二十五乘之,九百四十二而一。此方亭四角圓殺,比於方亭,二百分之一百五
十七。為術之意,先作方亭,三而一。則此據上下徑為之者,當又以一百五十七
乘之,六百而一也。今據周為之,若於圓堡昪,又以二十五乘之,三百一十四而
一,則先得三圓亭矣。故以三百一十四為九百四十二而一,並除之。
淳風等按:依密率,以七乘之,二百六十四而一。〕
今有方錐,下方二丈七尺,高二丈九尺。問積幾何?答曰:七千四十七尺。
術曰:下方自乘,以高乘之,三而一。
〔按:此術假令方錐下方二尺,高一尺,即四陽馬。如術為之,用十二陽馬
成三方錐。故三而一,得方錐也。〕
今有圓錐,下周三丈五尺,高五丈一尺。問積幾何?答曰:一千七百三十五
尺一十二分尺之五。
〔於徽術,當積一千六百五十八尺三百一十四分尺之十三。
淳風等按:依密率,為積一千六百五十六尺八十八分尺之四十七。〕
術曰:下周自乘,以高乘之,三十六而一。
〔按:此術圓錐下周以為方錐下方。方錐下方令自乘,以高乘之,令三而一,
得大方錐之積。大錐方之積合十二圓矣。今求一圓,複合十二除之,故令三乘十
二,得三十六,而連除。於徽術,當下周自乘,以高乘之,又以二十五乘之,九
百四十二而一。圓錐比於方錐亦二百分之一百五十七。令逕自乘者,亦當以一百
五十七乘之,六百而一。其說如圓亭也。
淳風等按:依密率,以七乘之,二百六十四而一。〕
今有塹堵,下廣二丈,袤一十八丈六尺,高二丈五尺。問積幾何?答曰:四
萬六千五百尺。
術曰:廣袤相乘,以高乘之,二而一。
〔邪解立方,得兩塹堵。雖復橢方,亦為塹堵。故二而一。此則合所規棋。
推其物體,蓋為塹上疊也。其形如城,而無上廣,與所規棋形異而同實。未聞所
以名之為塹堵之說也。〕
今有陽馬,廣五尺,袤七尺,高八尺。問積幾何?答曰:九十三尺少半尺。
術曰:廣袤相乘,以高乘之,三而一。
〔按:此術陽馬之形,方錐一隅也。今謂四柱屋隅為陽馬。假令廣袤各一尺,
高一尺,相乘,得立方積一尺。邪解立方,得兩塹堵;邪解塹堵,其一為陽馬,
一為鱉臑。陽馬居二,鱉臑居一,不易之率也。合兩鱉臑成一陽馬,合三陽馬而
成一立方,故三而一。驗之以棋,其形露矣。悉割陽馬,凡為六鱉臑。觀其割分,
則體勢互通,蓋易了也。其棋或修短、或廣狹、立方不等者,亦割分以為六鱉臑。
其形不悉相似。然見數同,積實均也。鱉臑殊形,陽馬異體。然陽馬異體,則不
純合。不純合,則難為之矣。何則?按:邪解方棋以為塹堵者,必當以半為分;
邪解塹堵以為陽馬者,亦必當以半為分,一從一橫耳。設以陽馬為分內,鱉臑為
分外。棋雖或隨修短廣狹,猶有此分常率知,殊形異體,亦同也者,以此而已。
其使鱉臑廣、袤、高各二尺,用塹堵、鱉臑之棋各二,皆用赤棋。又使陽馬之廣、
袤、高各二尺,用立方之棋一,塹堵、陽馬之棋各二,皆用黑棋。棋之赤、黑,
接為塹堵,廣、袤、高各二尺。於是中攽其廣、袤,又中分其高。令赤、黑塹堵
各自適當一方,高一尺,方一尺,每二分鱉臑,則一陽馬也。其餘兩端各積本體,
合成一方焉。是為別種而方者率居三,通其體而方者率居一。雖方隨棋改,而固
有常然之勢也。按:餘數具而可知者有一、二分之別,則一、二之為率定矣。其
於理也豈虛矣。若為數而窮之,置余廣、袤、高之數,各半之,則四分之三又可
知也。半之彌少,其餘彌細,至細曰微,微則無形。由是言之,安取余哉?數而
求窮之者,謂以情推,不用籌算。鱉臑之物,不同器用;陽馬之形,或隨修短廣
狹。然不有鱉臑,無以審陽馬之數,不有陽馬,無以知錐亭之數,功實之主也。〕
今有鱉臑,下廣五尺,無袤;上袤四尺,無廣;高七尺。問積幾何?答曰:
二十三尺少半尺。
術曰:廣袤相乘,以高乘之,六而一。
〔按:此術臑者,臂節也。或曰:半陽馬,其形有似鱉肘,故以名雲。中破
陽馬,得兩鱉臑。鱉臑之見數即陽馬之半數。數同而實據半,故云六而一,即得。〕
今有羨除,下廣六尺,上廣一丈,深三尺;末廣八尺,無深;袤七尺。問積
幾何?答曰:八十四尺。
術曰:並三廣,以深乘之,又以袤乘之,六而一。
〔按:此術羨除,實隧道也。其所穿地,上平下邪,似兩鱉臑夾一塹堵,即
羨除之形。假令用此棋:上廣三尺,深一尺,下廣一尺;末廣一尺,無深;袤一
尺。下廣、末廣皆塹堵之廣。上廣者,兩鱉臑與一塹堵相連之廣也。以深、袤乘,
得積五尺。鱉臑居二,塹堵居三,其於本棋皆一為六,故六而一。合四陽馬以為
方錐。邪畫方錐之底,亦令為中方。就中方削而上合,全為中方錐之半。於是陽
馬之棋悉中解矣。中錐離而為四鱉臑焉。故外錐之半亦為四鱉臑。雖背正異形,
與常所謂鱉臑參不相似,實則同也。所云夾塹堵者,中錐之鱉臑也。凡塹堵上袤
短者,連陽馬也。下袤短者,與鱉臑連也。上、下兩袤相等知,亦與鱉臑連也。
並三廣,以高、袤乘,六而一,皆其積也。今此羨除之廣即塹堵之袤也。 按:
此本是三廣不等,即與鱉臑連者。別而言之:中央塹堵廣六尺,高三尺,袤七尺。
末廣之兩旁,各一小鱉臑,皆與塹堵等。令小鱉臑居里,大鱉臑居表,則大鱉臑
皆出橢方錐:下廣二尺,袤六尺,高七尺。分取其半,則為袤三尺。以高、廣乘
之,三而一,即半錐之積也。邪解半錐得此兩大鱉臑。求其積,亦當六而一,合
於常率矣。按:陽馬之棋兩邪,棋底方。當其方也,不問旁角而割之,相半可知
也。推此上連無成不方,故方錐與陽馬同實。角而割之者,相半之勢。此大小鱉
臑可知更相表里,但體有背正也。〕
今有芻甍,下廣三丈,袤四丈;上袤二丈,無廣;高一丈。問積幾何?答曰:
五千尺。
術曰:倍下袤,上袤從之,以廣乘之,又以高乘之,六而一。
〔推明義理者:舊說云:“凡積芻有上下廣曰童,甍,謂其屋蓋之苫也。”
是故甍之下廣、袤與童之上廣、袤等。正解方亭兩邊,合之即芻甍之形也。假令
下廣二尺,袤三尺;上袤一尺,無廣;高一尺。其用棋也,中央塹堵二,兩端陽
馬各二。倍下袤,上袤從之,為七尺。以下廣乘之,得冪十四尺。陽馬之冪各居
二,塹堵之冪各居三。以高乘之,得積十四尺。其於本棋也,皆一而為六。故六
而一,即得。亦可令上下袤差乘廣,以高乘之,三而一,即四陽馬也;下廣乘上
袤而半之,高乘之,即二塹堵;並之,以為甍積也。〕
芻童、曲池、盤池、冥谷皆同術。
術曰:倍上袤,下袤從之;亦倍下袤,上袤從之;各以其廣乘之,並,以高
若深乘之,皆六而一。
〔按:此術假令芻童上廣一尺,袤二尺;下廣三尺,袤四尺;高一尺。其用
棋也,中央立方二,四面塹堵六,四角陽馬四。倍下袤為八,上袤從之,為十,
以高、廣乘之,得積三十尺。是為得中央立方各三,兩端塹堵各四,兩旁塹堵各
六,四角陽馬亦各六。復倍上袤,下袤從之,為八,以高、廣乘之,得積八尺。
是為得中央立方亦各三,兩端塹堵各二。並兩旁,三品棋皆一而為六。故六而一,
即得。 為術又可令上下廣袤差相乘,以高乘之,三而一,亦四陽馬;上下廣袤
互相乘,並,而半之,以高乘之,即四面六塹堵與二立方;並之,為芻童積。又
可令上下廣袤互相乘而半之,上下廣袤又各自乘,並,以高乘之,三而一,即得
也。〕
其曲池者,並上中、外周而半之,以為上袤;亦並下中、外周而半之,以為
下袤。
〔此池環而不通匝,形如盤蛇,而曲之。亦云周者,謂如委谷依垣之周耳。
引而伸之,周為袤。求袤之意,環田也。〕
今有芻童,下廣二丈,袤三丈;上廣三丈,袤四丈;高三丈。問積幾何?答
曰:二萬六千五百尺。
今有曲池,上中周二丈,外周四丈,廣一丈;下中周一丈四尺,外周二丈四
尺,廣五尺;深一丈。問積幾何?答曰:一千八百八十三尺三寸少半寸。
今有盤池,上廣六丈,袤八丈;下廣四丈,袤六丈,深二丈。問積幾何?答
曰:七萬六百六十六尺太半尺。
負土往來七十步,其二十步上下棚除,棚除二當平道五;踟躕之間十加一;
載輸之間三十步,定一返一百四十步。土籠積一尺六寸。秋程人功行五十九里半。
問人到積尺及用徒各幾何?答曰:人到二百四尺。用徒三百四十六人一百五十三
分人之六十二。
術曰:以一籠積尺乘程行步數,為實。往來上下棚除二當平道五。
〔棚,閣;除,斜道;有上下之難,故使二當五也。〕
置定往來步數,十加一,及載輸之間三十步,以為法。除之,所得即一人所
到尺。以所到約積尺,即用徒人數。
〔按:此術棚,閣;除,斜道;有上下之難,故使二當五。置定往來步數,
十加一,及載輸之間三十步,是為往來一返凡用一百四十步。於今有術為所有率,
籠積一尺六寸為所求率,程行五十九里半為所有數,而今有之,即所到尺數。以
所到約積尺,即用徒人數者,此一人之積除其眾積尺,故得用徒人數。 為術又
可令往來一返所用之步約程行為返數,乘籠積為一人所到。 以此術與今有術相
反覆,則乘除之或先後,意各有所在而同歸耳。〕
今有冥谷,上廣二丈,袤七丈;下廣八尺,袤四丈;深六丈五尺。問積幾何?
答曰:五萬二千尺。
載土往來二百步,載輸之間一里。程行五十八里;六人共車,車載三十四尺
七寸。問人到積尺及用徒各幾何?答曰:人到二百一尺五十分尺之十三。用徒二
百五十八人一萬六十三分人之三千七百四十六。
術曰:以一車積尺乘程行步數,為實。置今往來步數,載入輸之間一里,以
車六人乘之,為法。除之,所得即一人所到尺。以所到約積尺,即用徒人數。
〔按:此術今有之義。以載輸及往來並得五百步,為所有率,車載三十四尺
七寸為所求率,程行五十八里,通之為步,為所有數,而今有之,所得即一車所
到。欲得人到者,當以六人除之,即得。術有分,故亦更令乘法而並除者,亦用
以車尺數以為一人到土率,六人乘五百步為行率也。又亦可五百步為行率,令六
人約車積尺數為一人到土率,以負土術入之。入之者,亦可求返數也。要取其會
通而已。術恐有分,故令乘法而並除。以所到約積尺,即用徒人數者,以一人所
到積尺除其眾積,故得用徒人數也。〕
今有委粟平地,下周一十二丈,高二丈。問積及為粟幾何?答曰:積八千尺。
〔於徽術,當積七千六百四十三尺一百五十七分尺之四十九。
淳風等按:依密率,為積七千六百三十六尺十一分尺之四。〕
為粟二千九百六十二斛二十七分斛之二十六。
〔於徽術,當粟二千八百三十斛一千四百一十三分斛之一千二百一十。
淳風等按:依密率,為粟二千八百二十八斛九十九分斛之二十八。〕
今有委菽依垣,下周三丈,高七尺。問積及為菽各幾何?答曰:積三百五十
尺。
〔依徽術,當積三百三十四尺四百七十一分尺之一百八十六。
淳風等按:依密率,為積三百三十四尺十一分尺之一。〕
為菽一百四十四斛二百四十三分斛之八。
〔依徽術,當菽一百三十七斛一萬二千七百一十七分斛之七千七百七十一。
淳風等按:依密率,為菽一百三十七斛八百九十一分斛之四百三十三。〕
今有委米依垣內角,下周八尺,高五尺。問積及為米各幾何?答曰:積三十
五尺九分尺之五。
〔於徽術,當積三十三尺四百七十一分尺之四百五十七。
淳風等按:依密率,當積三十三尺三十三分尺之三十一。〕
為米二十一斛七百二十九分斛之六百九十一。
〔於徽術,當米二十斛三萬八千一百五十一分斛之三萬六千九百八十。
淳風等按:依密率,為米二十斛二千六百七十三分斛之二千五百四十。〕
委粟 術曰:下周自乘,以高乘之,三十六而一。
〔此猶圓錐也。於徽術,亦當下周自乘,以高乘之,又以二十五乘之,九百
四十二而一也。〕
其依垣者,
〔居圓錐之半也。〕
十八而一。
〔於徽術,當令此下周自乘,以高乘之,又以二十五乘之,四百七十一而一。
依垣之周,半於全周。其自乘之冪居全周自乘之冪四分之一,故半全周之法以為
法也。〕
其依垣內角者,
〔角,隅也,居圓錐四分之一也。〕
九而一。
〔於徽術,當令此下周自乘,而倍之,以高乘之,又以二十五乘之,四百七
十一而一。依隅之周,半於依垣。其自乘之冪居依垣自乘之冪四分之一,當半依
垣之法以為法。法不可半,故倍其實。又此術亦用周三徑一之率。假令以三除周,
得徑;若不盡,通分內子,即為徑之積分。令自乘,以高乘之,為三方錐之積分。
母自相乘得九,為法,又當三而一,得方錐之積。從方錐中求圓錐之積,亦猶方
冪求圓冪。乃當三乘之,四而一,得圓錐之積。前求方錐積,乃以三而一;今求
圓錐之積,複合三乘之。二母既同,故相準折。惟以四乘分母九,得三十六而連
除,圓錐之積。其圓錐之積與平地聚粟同,故三十六而一。
淳風等按:依密率,以七乘之,其平地者,二百六十四而一;依垣者,一百
三十二而一;依隅者,六十六而一也。〕
程粟一斛積二尺七寸;
〔二尺七寸者,謂方一尺,深二尺七寸,凡積二千七百寸。〕
其米一斛積一尺六寸五分寸之一;
〔謂積一千六百二十寸。〕
其菽、荅、麻、麥一斛皆二尺四寸十分寸之三。
〔謂積二千四百三十寸。此為以精粗為率,而不等其概也。粟率五,米率三,
故米一斛於粟一斛,五分之三;菽、荅、麻、麥亦如本率雲。故謂此三量器為概,
而皆不合於今斛。當今大司農斛,圓徑一尺三寸五分五厘,正深一尺,於徽術,
為積一千四百四十一寸,排成余分,又有十分寸之三。王莽銅斛於今尺為深九寸
五分五厘,徑一尺三寸六分八厘七毫。以徽術計之,於今斛為容九斗七升四合有
奇。《周官·考工記》:朅氏為量,深一尺,內方一尺而圓外,其實一釜。於徽
術,此圓積一千五百七十寸。《左氏傳》曰:“齊舊四量:豆、區、釜、鍾。四
升曰豆,各自其四,以登於釜。釜十則鍾。”鍾六斛四斗。釜六斗四升,方一尺,
深一尺,其積一千寸。若此方積容六斗四升,則通外圓積成旁,容十斗四合一龠
五分龠之三也。以數相乘之,則斛之制:方一尺而圓其外,庣旁一厘七毫,冪一
百五十六寸四分寸之一,深一尺,積一千五百六十二寸半,容十斗。王莽銅斛與
《漢書·律曆志》所論斛同。〕
今有倉,廣三丈,袤四丈五尺,容粟一萬斛。問高几何?答曰:二丈。
術曰:置粟一萬斛積尺為實。廣、袤相乘為法。實如法而一,得高尺。
〔以廣袤之冪除積,故得高。按:此術本以廣袤相乘,以高乘之,得此積。
今還元,置此廣袤相乘為法,除之,故得高也。〕
今有圓囷,
〔圓囷,廩也,亦云圓囤也。〕
高一丈三尺三寸少半寸,容米二千斛。問周幾何?答曰:五丈四尺。
〔於徽術,當周五丈五尺二寸二十分寸之九。
淳風等按:依密率,為周五丈五尺一百分尺之二十七。〕
術曰:置米積尺,
〔此積猶圓堡昪之積。〕
以十二乘之,令高而一。所得,開方除之,即周。
〔於徽術,當置米積尺,以三百一十四乘之,為實。二十五乘囷高為法。所
得,開方除之,即周也。此亦據見冪以求周,失之於微少也。晉武庫中有漢時王
莽所作銅斛,其篆書字題斛旁云:律嘉量斛,方一尺而圓其外,庣旁九厘五毫,
冪一百六十二寸;深一尺,積一千六百二十寸,容十斗。及斛底云:律嘉量斗,
方尺而圓其外,庣旁九厘五毫,冪一尺六寸二分。深一寸,積一百六十二寸,容
一斗。合、龠皆有文字。升居斛旁,合、龠在斛耳上。後有贊文,與今律曆志同,
亦魏晉所常用。今粗疏王莽銅斛文字、尺、寸、分數,然不盡得升、合、勺之文
字。按:此術本周自相乘,以高乘之,十二而一,得此積。今還元,置此積,以
十二乘之,令高而一,即複本周自乘之數。凡物自乘,開方除之,復其本數。故
開方除之,即得也。
淳風等按:依密率,以八十八乘之,為實。七乘囷高為法。實如法而一。開
方除之,即周也。〕
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目錄:九章算術
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