卷四十六 志二十一

◎時憲二
△推步算術
推步新法所用者，曰平三角形，曰弧三角形，曰橢圓形。今撮其大旨，證立
法之原，驗用數之實，都為一十六術，著於篇。
平三角形者，三直線相遇而成。其線為邊，兩線所夾空處為角。有正角，當
全圓四分之一，如甲乙丙形之甲角。有銳角，不足四分之一，如乙、丙兩角。有
鈍角，過四分之一，如丁戊己形之戊角。（圖形尚無資料）
角之度無論多寡，皆有其相當之八線。曰正弦、正矢、正割、正切，所有度
與九十度相減餘度之四線也，如甲乙為本度，則丙乙為餘度。正弦乙戊，正矢甲
戊，正割庚丁，正切庚甲，餘弦乙己，餘矢丙己，餘割辛丁，餘切辛丙。若壬癸
為本度，則醜癸為餘度，正弦癸辰，正矢壬辰，餘弦癸卯，餘矢醜卯，餘割子寅，
餘切醜寅。以壬癸過九十度無正割、正切，借癸午之子未為正割，午未為正切。
若正九十度醜壬為本度，則無餘度，醜子半徑為正弦，壬子半徑為正矢，亦無正
割、正切，並無餘弦、餘矢、餘割、餘切。
古定全圓周為三百六十度，四分之一稱一象限，為九十度。每度六十分，每
分六十秒，每秒六十微。圓半徑為十萬，後改千萬。逐度逐分求其八線，備列於
表。推算三角，在九十度內，欲用某度某線，就表取之，算得某線。欲知某度，
就表對之。過九十度者，欲用正弦、正割、正切及四餘，以其度與半周相減餘，
就表取之。欲用正矢，取餘弦加半徑為之。既得某線，欲知某度，就表對得其度
與半周相減餘命之。
（圖形尚無資料）
算平三角凡五術：
一曰對邊求對角，以所知邊為一率，對角正弦為二率，所知又一邊為三率，
二三相乘，一率除之，求得四率，為所不知之對角正弦。如圖甲乙為所知邊，丁
角為所知對角，乙丁為所知又一邊，甲角為所不知對角也。此其理系兩次比例省
為一次。如圖乙丁為半徑之比，乙丙為丁角正弦之比。法當先以半徑為一率，丁
角正弦為二率，乙丁為三率，求得四率中垂線乙丙。既得乙丙，甲乙為半徑之比，
乙丙又為甲角正弦之比。乃以甲乙為一率，乙丙為二率，半徑為三率，求得四率，
自為甲角正弦。然後合而算之，以先之一率半徑與後之一率甲乙相乘為共一率，
先之二率丁角正弦與後之二率乙丙相乘為共二率，先之三率乙丁與後之三率半徑
相乘為共三率，求得四率，自為先之四率乙丙與後之四率甲角正弦相乘數，仍當
以乙丙除之，乃得甲角正弦。後既當除，不如先之勿乘。共二率內之乙丙與三率
相乘者也，乘除相報，乙丙宜省。又共三率內之半徑與二率相乘者也，共一率內
之半徑又主除之，乘除相報，半徑又宜省。故徑以甲乙為一率，丁角正弦為二率，
乙丁為三率，求得四率，為甲角正弦。
二曰對角求對邊，以所知角正弦為一率，對邊為二率，所知又一角正弦為三
率，求得四率，為所不知對邊。此其理具對邊求對角，反觀自明。
三曰兩邊夾一角求不知之二角，以所知角旁兩邊相加為一率，相減餘為二率，
所知角與半周相減，餘為外角，半之，取其正切為三率，求得四率，為半較角正
切。對表得度，與半外角相加，為對所知角旁略大邊之角；相減，餘為對所知角
旁略小邊之角。此其理一在平三角形。三角相併，必共成半周。如圖甲乙丙形，
中垂線甲丁，分為兩正角形。正角為長方之半，長方四角皆正九十度，正角形兩
銳角斜剖長方，此角過九十度之半幾何，彼角不足九十度之半亦幾何，一線徑過，
其勢然也。故甲右邊分角必與乙角合為九十度，甲左邊分角必與丙角合為九十度。
論正角形各加丁角，皆成半周，合為銳角形。除去丁角，三角合亦自為半周。故
既知一角之外，其餘二角雖不知各得幾何度分，必知其共得此角減半周之餘也。
一在三角同式形比例。如圖丙庚戊形，知丙庚、丙戊兩邊及丙角。展丙庚為丙甲，
連丙戊為甲戊，兩邊相加。截丙戊於丙丁，為戊丁，兩邊相減餘。作庚丁虛線，
丙庚、丙丁同長，庚丁向圓內二角必同度，是皆為丙角之半外角，與甲辛、辛庚
之度等。而庚向圓外之角，即本形庚角大於戊角之半，是為半外角。以庚丁為半
徑之比，則甲庚即為丁半外角正切之比。半徑與正切恆為正角，甲庚與庚丁圓內
作兩通弦，亦無不成正角故也。又作丁己線，與甲庚平行，庚丁仍為半徑之比，
丁己又為庚向圓外半較角正切之比。而戊甲庚大形與戊丁己小形，戊甲、戊丁既
在一線，甲庚、丁己又系平行，自然同式。故甲戊兩邊相加為一率，戊丁兩邊相
減餘為二率，甲庚半外角正切為三率，求得四率，自當丁己半較角正切也。
四曰兩角夾一邊求不知之一角，以所知兩角相併，與半周相減，餘即得。此
其理具兩邊夾一角。
五曰三邊求角，以大邊為底，中、小二邊相併相減，兩數相乘，大邊除之，
得數與大邊相加折半為分底大邊，相減餘折半為分底小邊。乃以中邊為一率，分
底大邊為二率，半徑為三率，求得四率，為對小邊角餘弦。或以小邊為一率，分
底小邊為二率，半徑為三率，求得四率，為對中邊角餘弦。此其理在勾股弦冪相
求及兩方冪相較。如圖甲丙中邊、甲乙小邊皆為弦，乙丙大邊由丁分之，丁丙、
丁乙皆為勾，中垂線甲丁為股。勾股冪相併恆為弦冪，今甲丁股既兩形所同，則
甲丙大弦冪多於甲乙小弦冪，即同丙丁大勾冪多於乙丁小勾冪。又兩方冪相較，
恆如兩方根和較相乘之數。如圖戊寅壬庚為大方冪，減去己卯辛庚小方冪，餘戊
己卯辛壬寅曲矩形。移卯癸壬辛為癸寅醜子，成一直方形，其長戊醜，自為大方
根戊寅、小方根卯辛之和；其闊戊己，自為大方根戊庚、小方根己庚之較。故甲
乙丙形，甲丙、甲乙相加為和，相減為較。兩數相乘，即如丙丁、丁乙和較相乘
之數。丙乙除之，自得其較。丙午相加相減各折半，自得丙丁及乙丁，既得丙丁、
乙丁，各以丙甲、乙甲為半徑之比，丙丁、乙丁自為餘弦之比矣。
此五術者，有四不待算，一不可算。對邊求對角，令所知兩邊相等，則所求
角與所知角必相等。對角求對邊，令所知兩角相等，則所求邊與所知邊必相等。
兩邊夾一角，令所知兩邊相等，則所求二角必正得所知外角之半。三邊求角，令
二邊相等，即分不等者之半為底邊；三邊相等，即平分半周三角皆六十度，皆不
待算也。若對邊求對角，所知一邊數少，對所知一角銳；又所知一邊數多，求所
對之角，不能知其為銳、為鈍，是不可算也。諸題求邊角未盡者，互按得之。
弧三角形者，三圓周相遇而成，其邊亦以度計。九十度為足，少於九十度為
小，過九十度為大。其角銳、鈍、正與平三角等。算術有七：
一曰對邊求對角，以所知邊正弦為一率，對角正弦為二率，所知又一邊正弦
為三率，求得四率，為所求對角正弦。此其理亦系兩次比例省為一次。如圖甲乙
丙形，知甲乙、丙乙二邊及丙角，求甲角。作乙辛垂弧，半徑與丙角正弦之比，
同於乙丙正弦與乙辛正弦之比。法當以半徑為一率，丙角正弦為二率，乙丙正弦
為三率，求得四率，為乙辛正弦。既得乙辛正弦，甲乙正弦與乙辛正弦之比，同
於半徑與甲角正弦之比。乃以甲乙正弦為一率，乙辛正弦為二率，半徑為三率，
求得四率，為甲角正弦。然乘除相報，可省省之。
二曰對角求對邊，以所知角正弦為一率，對邊正弦為二率，所知又一角正弦
為三率，求得四率，為所求對邊正弦。此其理反觀自明。
三曰兩邊夾一角，或銳或鈍，求不知之一邊。以半徑為一率，所知角餘弦為
二率，任以所知一邊正切為三率，求得四率，命為正切。對表得度，與所知又一
邊相減，餘為分邊。乃以前得度餘弦為一率，先用邊餘弦為二率，分邊餘弦為三
率，求得四率，為不知之邊餘弦。原角鈍，分邊大，此邊小；分邊小，此邊大。
原角銳，分邊小，此邊小；分邊大，此邊大。此其理系三次比例省為二次。如圖
甲丙丁形，知甲丙、甲丁二邊及甲角，中作垂弧丙乙，半徑與甲角餘弦之比，同
於甲丙正切與甲乙正切之比。先一算為易明。既分甲丁於乙，而得丁乙分邊，甲
乙餘弦與半徑之比，同於甲丙餘弦與丙乙餘弦之比。法當先以甲乙餘弦為一率，
半徑為二率，甲丙餘弦為三率，求得四率，為丙乙餘弦。既得丙乙餘弦，半徑與
乙丁餘弦之比，同於丙乙餘弦與丁丙餘弦之比。乃以半徑為一率，乙丁餘弦為二
率，丙乙餘弦為三率，求得四率，為丁丙餘弦。然而乘除相報，故從省。兩邊夾
一角若正，則徑以所知兩邊餘弦相乘半徑除之，即得不知邊之餘弦，理自明也。
所知兩邊俱大俱小，此邊小；所知兩邊一小一大，此邊大。
四曰兩角夾一邊，求不知之一角。以角為邊，以邊為角，反求之；得度，反
取之；求、取皆與半周相減。
五曰所知兩邊對所知兩角，或銳、或鈍，求不知之邊角。以半徑為一率，任
以所知一角之餘弦為二率，對所知又一角之邊正切為三率，求得四率，命為正切，
對表得度。復以所知又一角、一邊如法求之，復得度。視原所知兩角銳、鈍相同，
則兩得度相加；不同，則兩得度相減；皆加減為不知之邊。乃按第一術對邊求對
角，即得不知之角。原又一角鈍，對先用角之邊大於後得度，此角鈍；對先用角
之邊小於後得度，此角銳。原又一角銳，對先用角之邊小於後得度，此角鈍；對
先用角之邊大於後得度，此角銳。此其理系垂弧在形內與在形外之不同，及角分
銳鈍，邊殊大小，前後左右俯仰向背之相應。如圖甲乙丙形，甲乙二角俱銳，兩
銳相向，故垂弧丙丁，從中取正，而在形內。己丙庚形，己庚二角俱鈍，兩鈍相
向，故垂弧戊丙亦在形內。庚丙乙形，庚乙兩角，一銳一鈍相違，垂弧丙丁，從
外補正，自在形外。在形內者判底邊為二，兩得分邊之度，如乙丁、丁甲，合而
成一底邊如乙甲，故宜相加。在形外者，引底邊之餘，兩得分邊之度，如庚丁、
乙丁，重而不揜，底邊如庚乙，故宜相減。銳鈍大小之相應，亦如右圖審之。
所知兩邊對所知兩角有一正，則一得度即為不知之邊，理亦自明。
六曰三邊求角，以所求角旁兩邊正弦相乘為一率，半逕自乘為二率，兩邊相
減餘為較弧，取其正矢與對邊之正矢相減餘為三率，求得四率，為所求角正矢。
此其理在兩次比例省為一次。如圖甲壬乙形，求甲角，其正矢為醜丁。法當以甲
乙邊正弦乙丙為一率，半徑乙己為二率，兩邊較弧正矢乙癸與對邊正矢乙卯相減
餘癸卯同辛子為三率，求得四率為壬辛。乃以甲壬邊正弦戊辛為一率，壬辛為二
率，半徑己丁為三率，求得四率為醜丁。甲角正矢亦以乘除相報，故從省焉。
七曰三角或銳、或鈍求邊，以角為邊，反求其角；既得角，復取為邊；求、
取皆與半周相減。此其理在次形，如圖甲乙丙形，甲角之度為丁戊，與半周相減
為戊己，其度必同於次形子辛午之子辛邊，蓋醜卯為乙之角度醜點之交，甲乙弧
必為正角，丁戊為甲之角度戊點之交，甲乙弧亦必為正角。以一甲乙而交醜辛、
戊辛二弧皆成正角，則二弧必皆九十度，弧三角之勢如此也。戊辛既九十度，子
己亦九十度，去相覆之戊子，己戊自同子辛，於是庚癸必同子午，卯未必同午辛，
理皆如是矣。而此形之餘角既皆為彼形之邊，彼形餘角不得不為此形之邊，故反
取之而得焉。若三角有一正，除正角外，以一角之正弦為一率，又一角之餘弦為
二率，半徑為三率，求得四率，為對又一角之邊餘弦。此其理亦系次形，而以正
角及一角為次形之角，以又一角加減象限為次形對角之邊，取象稍異。
凡茲七術，惟邊角相求，有銳鈍、大小不能定者，然推步無其題，不備列。
此七題中求邊角有未盡者，互按得之。
橢圓形者，兩端徑長、兩腰徑短之圓面。然必其應規，乃可推算。作之之術，
任以兩點各為心，一點為界，各用一針釘之，圍以絲線，末以鉛筆代為界之。針
引而旋轉，即成橢圓形。如圖甲己午三點，如法作之，為醜午巳未橢圓，寅醜、
寅巳為大半徑，寅午、寅未為小半徑，寅甲為兩心差，己甲為倍兩心差。甲午數
如寅巳，亦同寅醜，己午如之；二數相和，恆與醜巳同。令午針引至申，甲申、
申己長短雖殊，共數不易。甲午同大半徑之數如弦，兩心差如勾，小半徑如股，
但知兩數，即可以勾股術得不知之一數。若求面積，以平方面率四００００００
００為一率，平圓面率三一四一五九二六五為二率，大小徑相乘成長方面為三率，
求得四率為橢圓面積。若求中率半徑，大小半徑相乘，平方開之即得。然自甲心
出線，離醜右旋，如圖至戌，甲醜、甲戌之間，有所割之面積，亦有所當之角度。
角積相求，爰有四術：
一曰以角求積，以半徑為一率，所知角度正弦為二率，倍兩心差為三率，求
得四率為倍兩心差之端，垂線如己酉。又以半徑為一率，所知角度餘弦為二率，
倍兩心差為三率，求得四率為界度積線，引出之線如甲酉，倍兩心差之端垂線為
勾自乘。以引出之線，與甲戌、己戌和如巳醜大徑者相加為股弦和，除之得較。
和、較相加折半為己戌弦，與大徑相減為甲戌線。又以半徑為一率，所知角正弦
為二率，甲戌線為三率，求得四率為戌亥邊。又以小徑為一率，大徑為二率，戌
亥邊為三率，求得四率為辰亥邊。又以大半徑寅辰同寅醜為一率，半徑為二率，
辰亥邊為三率，求得四率為正弦，對表得度。又以半周天一百八十度化秒為一率，
半圓周三一四一五九二六為二率，所得度化秒為三率，求得四率為比例弧線。又
以半徑為一率，大半徑為二率，比例弧線為三率，求得四率為辰醜弧線，與大半
徑相乘折半，為寅辰醜分平圓面積。又以大半徑為一率，小半徑為二率，分平圓
面積為三率，求得四率為寅戌醜分橢圓面積。乃以寅甲兩心差與戌亥邊相乘折半，
與寅戌醜相減，為甲戌、甲醜之間所割面積。此其理具本圖及平三角、弧三角，
其法至密。
二曰以積求角，以兩心差減大半徑餘得甲醜線自乘為一率，中率半逕自乘為
二率，甲戌、甲醜之間面積為三率，求得四率為中率面積，如甲氐亢。分橢圓面
積為三百六十度，取一度之面積為法除之，即得甲戌、甲醜之間所夾角度，此其
理為同式形比例。然甲亢與甲氐同長，甲戌則長於甲醜，以所差不多，借為同數。
若引戌至心，甲醜甲心所差實多，仍須用前法求甲戌線，借甲戌甲心相近為同數
求之。
三曰借積求積，以所知面積，如圖之辛甲醜，用一度之面積為法除之，得面
積之度。設其度為角度，於倍兩心差之端如庚己丑。以半徑為一率，己角正弦為
二率，倍兩心差為三率，求得四率為甲子垂線。又以半徑為一率，己角餘弦為二
率，倍兩心差為三率，求得四率為己子分邊。甲子為勾自乘，己子與大徑相減餘
為股弦和，除之得股弦較。和、較相加折半得甲庚線。又以甲庚線為一率，甲子
垂線為二率，半徑為三率，求得四率為庚角正弦，得度與己角相加為庚甲丑角。
乃用以角求積法，求得庚甲醜面積，與辛甲醜面積相減餘如庚甲辛，又用以積求
角法，求得度，與庚甲丑角相加，即得辛甲丑角。
四曰借角求角，以所知面積如前法取為積度，如醜甲丁。設其度為角度，於
橢圓心如丁乙辛。以小半徑為一率，大半徑為二率，所設角度正切為三率，求得
四率為丁乙癸角正切。對表得度，乃於倍兩心差之端丙作丙醜線，即命醜丙甲角
如癸乙丁之角度，乃將丙醜線引長至寅，使醜寅與甲醜等，則丙寅同大徑。又作
甲寅線，成甲寅丙三角形，用切線分外角法求得寅角，倍之為甲丙醜形之丑角，
與丙角相加為醜甲丁角。此其理癸乙甲角度多於醜甲丁積度，為子乙癸角度。即
以此度當前之補算辛甲庚者，蓋所差無多也。
此四術內凡單言半徑者，皆八線表一千萬之數。（圖形尚無資料）