卷七
○盈不足(以御隱雜互見)
今有共買物,人出八,盈三;人出七,不足四。問人數、物價各幾何?答曰:
七人。物價五十三。
今有共買雞,人出九,盈一十一;人出六,不足十六。問人數、雞價各幾何?
答曰:九人。雞價七十。
今有共買璡,人出半,盈四;人出少半,不足三。問人數、璡價各幾何?答
曰:四十二人。璡價十七。
〔注云“若兩設有分者,齊其子,同其母”,此問兩設俱見零分,故齊其子,
同其母。又雲“令下維乘上。訖,以同約之”,不可約,故以乘,同之。〕
今有共買牛,七家共出一百九十,不足三百三十;九家共出二百七十,盈三
十。問家數、牛價各幾何?答曰:一百二十六家。牛價三千七百五十。
〔按:此術並盈不足者,為眾家之差,故以為實。置所出率,各以家數除之,
各得一家所出率。以少減多者,得一家之差。以除,即家數。以出率乘之,減盈,
故得牛價也。〕
術曰:置所出率,盈不足各居其下。令維乘所出率,並,以為實。並盈、不
足,為法。實如法而一。
〔按:盈者,謂朓;不足者,謂之朒;所出率謂之假令。盈、朒維乘兩
設者,欲為同齊之意。據“共買物,人出八,盈三;人出七,不足四”,齊其假
令,同其盈、朒,盈、朒俱十二。通計齊則不盈不朒之正數,故可並之為
實,並盈、不足為法。齊之三十二者,是四假令,有盈十二;齊之二十一者,是
三假令,亦朒十二;並七假令合為一實,故並三、四為法。〕
有分者通之。
〔若兩設有分者,齊其子,同其母。令下維乘上,訖,以同約之。〕
盈不足相與同其買物者,置所出率,以少減多,余,以約法、實。實為物價,
法為人數。
〔“所出率以少減多”者,余,謂之設差,以為少設。則並盈、朒,是為
定實。故以少設約定實,則法,為人數;適足之實故為物價。盈朒當與少設相
通。不可遍約,亦當分母乘,設差為約法、實。〕
其一術曰:並盈、不足為實。以所出率,以少減多,余為法。實如法得一人。
以所出率乘之,減盈、增不足,即物價。
〔此術意謂盈不足為眾人之差。以所出率以少減多,余為一人之差。以一人
之差約眾人之差,故得人數也。〕
今有共買金,人出四百,盈三千四百;人出三百,盈一百。問人數、金價各
幾何?答曰:三十三人。金價九千八百。
今有共買羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三。問人數、羊價各幾何?
答曰:二十一人。羊價一百五十。
術曰:置所出率,盈、不足各居其下。令維乘所出率,以少減多,余為實。
兩盈、兩不足以少減多,余為法。實如法而一。有分者,通之。兩盈兩不足相與
同其買物者,置所出率,以少減多,余,以約法、實。實為物價,法為人數。
〔按:此術兩不足者,兩設皆不足於正數。其所以變化,猶兩盈。而或有勢
同而情違者。當其為實,俱令不足維乘相減,則遺其所不足焉。故其餘所以為實
者,無朒數以損焉。蓋出而有餘,兩盈。兩設皆逾於正數。假令與共買物,人
出八,盈三;人出九,盈十。齊其假令,同其兩盈。兩盈俱三十。舉齊則兼去。
其餘所以為實者,無盈數。兩盈以少減多,余為法。齊之八十者,是十假令;而
凡盈三十者,是十,以三之;齊之二十七者,是三假令;而凡盈三十者,是三,
以十之。今假令兩盈共十、三,以三減十,餘七,為一實。故令以三減十,餘七
為法。所出率以少減多,余謂之設差。因設差為少設,則兩盈之差是為定實。故
以少設約法得人數,約實即得金數。〕
其一術曰:置所出率,以少減多,余為法。兩盈、兩不足以少減多,余為實。
實如法而一,得人數。以所出率乘之,減盈、增不足,即物價。
〔“置所出率,以少減多”,得一人之差。兩盈、兩不足相減,為眾人之差。
故以一人之差除之,得人數。以所出率乘之,減盈、增不足,即物價。〕
今有共買犬,人出五,不足九十;人出五十,適足。問人數、犬價各幾何?
答曰:二人。犬價一百。
今有共買豕,人出一百,盈一百;人出九十,適足。問人數、豕價各幾何?
答曰:一十人。豕價九百。
術曰:以盈及不足之數為實。置所出率,以少減多,余為法。實如法得一人。
其求物價者,以適足乘人數,得物價。
〔此術意謂以所出率,以少減多者,余是一人不足之差。不足數為眾人之差。
以一人差約之,故得人之數也。以盈及不足數為實者,數單見,即眾人差,故以
為實。所出率以少減多,即一人差,故以為法。以除眾人差,得人數。以適足乘
人數,即得物價也。〕
今有米在十斗桶中,不知其數。滿中添粟而舂之,得米七斗。問故米幾何?
答曰:二斗五升。
術曰:以盈不足術求之。假令故米二斗,不足二升;令之三斗,有餘二升。
〔按:桶受一斛,若使故米二斗,須添粟八斗以滿之。八斗得糲米四斗八升,
課於七斗,是為不足二升。若使故米三斗,須添粟七斗以滿之。七斗得糲米四斗
二升,課於七斗,是為有餘二升。以盈不足維乘假令之數者,欲為齊同之意。為
齊同者,齊其假令,同其盈朒。通計齊即不盈不朒之正數,故可以並之為實,
並盈、不足為法。實如法,即得故米斗數,乃不盈不朒之正數也。〕
今有垣高九尺。瓜生其上,蔓日長七寸;瓠生其下,蔓日長一尺。問幾何日
相逢?瓜、瓠各長几何?答曰:五日十七分日之五。瓜長三尺七寸一十七分寸之
一。瓠長五尺二寸一十七分寸之一十六。
術曰:假令五日,不足五寸;令之六日,有餘一尺二寸。
〔按:“假令五日,不足五寸”者,瓜生五日,下垂蔓三尺五寸;瓠生五日,
上延蔓五尺;課於九尺之垣,是為不足五寸。“令之六日,有餘一尺二寸”者,
若使瓜生六日,下垂蔓四尺二寸;瓠生六日,上延蔓六尺;課於九尺之垣,是為
有餘一尺二寸。以盈、不足維乘假令之數者,欲為齊同之意。齊其假令,同其盈
朒。通計齊即不盈不朒之正數,故可並以為實,並盈、不足為法。實如法而
一,即設差不盈不朒之正數,即得日數。以瓜、瓠一日之長乘之,故各得其長
之數也。〕
今有蒲生一日,長三尺;莞生一日,長一尺。蒲生日自半,莞生日自倍。問
幾何日而長等?答曰:二日十三分日之六。各長四尺八寸一十三分寸之六。
術曰:假令二日,不足一尺五寸;令之三日,有餘一尺七寸半。
〔按:“假令二日,不足一尺五寸”者,蒲生二日,長四尺五寸;莞生二日,
長三尺;是為未相及一尺五寸,故曰不足。“令之三日,有餘一尺七寸半”者,
蒲增前七寸半,莞增前四尺,是為過一尺七寸半,故曰有餘。以盈不足乘除之。
又以後一日所長各乘日分子,如日分母而一者,各得日分子之長也。故各增二日
定長,即得其數。〕
今有醇酒一斗,直錢五十;行酒一斗,直錢一十。今將錢三十,得酒二斗。
問醇、行酒各得幾何?答曰:醇酒二升半。行灑一斗七升半。
術曰:假令醇酒五升,行酒一斗五升,有餘一十;令之醇酒二升,行酒一斗
八升,不足二。
〔據醇酒五升,直錢二十五;行酒一斗五升,直錢一十五;課於三十,是為
有餘十。據醇酒二升,直錢一十;行酒一斗八升,直錢一十八;課於三十,是為
不足二。以盈不足術求之。此問已有重設及其齊同之意也。〕
今有大器五,小器一,容三斛;大器一,小器五,容二斛。問大、小器各容
幾何?答曰:大器容二十四分斛之十三。小器容二十四分斛之七。
術曰:假令大器五斗,小器亦五斗,盈一十斗;令之大器五斗五升,小器二
斗五升,不足二斗。
〔按:大器容五斗,大器五容二斛五斗。以減三斛,餘五斗,即小器一所容。
故曰“小器亦五斗”。小器五容二斛五斗,大器一,合為三斛。課於兩斛,乃多
十斗。令之大器五斗五升,大器五合容二斛七斗五升。以減三斛,餘二斗五升,
即小器一所容。故曰小器二斗五升”。大器一容五斗五升,小器五合容一斛二斗
五升,合為一斛八斗。課於二斛,少二斗。故曰“不足二斗”。以盈不足維乘,
除之。〕
今有漆三得油四,油四和漆五。今有漆三斗,欲令分以易油,還自和余漆。
問出漆、得油、和漆各幾何?答曰:出漆一斗一升四分升之一。得油一斗五升。
和漆一斗八升四分升之三。
術曰:假令出漆九升,不足六升;令之出漆一斗二升,有餘二升。
〔按:此術三斗之漆,出九升,得油一斗二升,可和漆一斗五升,余有二斗
一升,則六升無油可和,故曰“不足六升”。令之出漆一斗二升,則易得油一斗
六升,可和漆二斗。於三斗之中已出一斗二升,余有一斗八升。見在油合和得漆
二斗,則是有餘二升。以盈、不足維乘之,為實。並盈、不足為法。實如法而一,
得出漆升數。求油及和漆者,四、五各為所求率,三、四各為所有率,而今有之,
即得也。〕
今有玉方一寸,重七兩;石方一寸,重六兩。今有石立方三寸,中有玉,並
重十一斤。問玉、石重各幾何?答曰:玉一十四寸,重六斤二兩。石一十三寸,
重四斤一十四兩。
術曰:假令皆玉,多十三兩;令之皆石,不足一十四兩。不足為玉,多為石。
各以一寸之重乘之,得玉、石之積重。
〔立方三寸是一面之方,計積二十七寸。玉方一寸重七兩,石方一寸重六兩,
是為玉、石重差一兩。假令皆玉,合有一百八十九兩。課於一十一斤,有餘一十
三兩。玉重而石輕,故有此多。即二十七寸之中有十三寸,寸損一兩,則以為石
重,故言多為石。言多之數出於石以為玉。假令皆石,合有一百六十二兩。課於
十一斤,少十四兩,故曰不足。此不足即以重為輕。故令減少數於並重,即二十
七寸之中有十四寸,寸增一兩也。〕
今有善田一畝,價三百;惡田七畝,價五百。今並買一頃,價錢一萬。問善、
惡田各幾何?答曰:善田一十二畝半。惡田八十七畝半。
術曰:假令善田二十畝,惡田八十畝,多一千七百一十四錢七分錢之二;令
之善田一十畝,惡田九十畝,不足五百七十一錢七分錢之三。
〔按:善田二十畝,直錢六千;惡田八十畝,直錢五千七百一十四、七分錢
之二,課於一萬,是多一千七百一十四、七分錢之二。令之善田十畝,直錢三千;
惡田九十畝,直錢六千四百二十八、七分錢之四;課於一萬,是為不足五百七十
一、七分錢之三。以盈不足術求之也。〕
今有黃金九枚,白銀一十一枚,稱之重,適等。交易其一,金輕十三兩。問
金、銀一枚各重幾何?答曰:金重二斤三兩一十八銖。銀重一斤一十三兩六銖。
術曰:假令黃金三斤,白銀二斤一十一分斤之五,不足四十九,於右行。令
之黃金二斤,白銀一斤一十一分斤之七,多一十五,於左行。以分母各乘其行內
之數。以盈、不足維乘所出率,並,以為實。並盈、不足為法。實如法,得黃金
重。分母乘法以除,得銀重。約之得分也。
〔按:此術假令黃金九,白銀一十一,俱重二十七斤。金,九約之,得三斤;
銀,一十一約之,得二斤一十一分斤之五;各為金、銀一枚重數。就金重二十七
斤之中減一金之重,以益銀,銀重二十七斤之中減一銀之重,以益金,則金重二
十六斤一十一分斤之五,銀重二十七斤一十一分斤之六。以少減多,則金輕一十
七兩一十一分兩之五。課於一十三兩,多四兩一十一分兩之五。通分內子言之,
是為不足四十九。又令之黃金九,一枚重二斤,九枚重一十八斤;白銀一十一,
亦合重一十八斤也。乃以一十一除之,得一斤一十一分斤之七,為銀一枚之重數。
今就金重一十八斤之中減一枚金,以益銀;復減一枚銀,以益金,則金重一十七
斤一十一分斤之七,銀重一十八斤一十一分斤之四。以少減多,即金輕一十一分
斤之八。課於一十三兩,少一兩一十一分兩之四。通分內子言之,是為多一十五。
以盈不足為之,如法,得金重。分母乘法以除者,為銀兩分母,故同之。須通法
而後乃除,得銀重。余皆約之者,術省故也。〕
今有良馬與駑馬髮長安,至齊。齊去長安三千里。良馬初日行一百九十三里,
日增一十三里,駑馬初日行九十七里,日減半里。良馬先至齊,復還迎駑馬。問
幾何日相逢及各行幾何?答曰:一十五日一百九十一分日之一百三十五而相逢。
良馬行四千五百三十四里一百九十一分里之四十六。駑馬行一千四百六十五里一
百九十一分里之一百四十五。
術曰:假令十五日,不足三百三十七里半;令之十六日,多一百四十里。以
盈、不足維乘假令之數,並而為實。並盈、不足為法。實如法而一,得日數。不
盡者,以等數除之而命分。求良馬行者:十四乘益疾里數而半之,加良馬初日之
行里數,以乘十五日,得十五日之凡行。又以十五日乘益疾里數,加良馬初日之
行。以乘日分子,如日分母而一。所得,加前良馬凡行里數,即得。其不盡而命
分。求駑馬行者:以十四乘半里,又半之,以減駑馬初日之行里數,以乘十五日,
得駑馬十五日之凡行。又以十五日乘半里,以減駑馬初日之行,余,以乘日分子,
如日分母而一。所得,加前里,即駑馬定行里數。其奇半里者,為半法。以半法
增殘分,即得。其不盡者而命分。
〔按:“令十五日,不足三百三十七里半”者,據良馬十五日凡行四千二百
六十里,除先去齊三千里,定還迎駑馬一千二百六十里;駑馬十五日凡行一千四
百二里半,並良、駑二馬所行,得二千六百六十二里半。課於三千里,少三百三
十七里半。故曰不足。“令之十六日,多一百四十里”者,據良馬十六日凡行四
千六百四十八里;除先去齊三千里,定還迎駑馬一千六百四十八里,駑馬十六日
凡行一千四百九十二里。並良、駑二馬所行,得三千一百四十里。課於三千里,
余有一百四十里。故謂之多也。以盈不足之,實如法而一,得日數者,即設差不
盈不朒之正數。以二馬初日所行里乘十五日,為一十五日平行數。求初末益疾
減遲之數者,並一與十四,以十四乘而半之,為中平之積。又令益疾減遲里數乘
之,各為減益之中平里。故各減益平行數,得一十五日定行里。若求後一日,以
十六日之定行里數乘日分子,如日分母而一,各得日分子之定行里數。故各並十
五日定行里,即得。其駑馬奇半里者,法為全里之分,故破半里為半法,以增殘
分,即合所問也。〕
今有人持錢之蜀賈,利十,三。初返歸一萬四千,次返歸一萬三千,次返歸
一萬二千,次返歸一萬一千,後返歸一萬。凡五返歸錢,本利俱盡。問本持錢及
利各幾何?答曰:本三萬四百六十八錢三十七萬一千二百九十三分錢之八萬四千
八百七十六。利二萬九千五百三十一錢三十七萬一千二百九十三分錢之二十八萬
六千四百一十七。
術曰:假令本錢三萬,不足一千七百三十八錢半;令之四萬,多三萬五千三
百九十錢八分。
〔按:假令本錢三萬,並利為三萬九千;除初返歸留,余,加利為三萬二千
五百;除二返歸留,余,又加利為二萬五千三百五十;除第三返歸留,余,又加
利為一萬七千三百五十五;除第四返歸留,余,又加利為八千二百六十一錢半;
除第五返歸留,合一萬錢,不足一千七百三十八錢半。若使本錢四萬,並利為五
萬二千;除初返歸留,余,加利為四萬九千四百;除第二返歸留,余,又加利為
四萬七千三百二十;除第三返歸留,余,又加利為四萬五千九百一十六;除第四
返歸留,余,又加利為四萬五千三百九十錢八分;除第五返歸留,合一萬,餘三
萬五千三百九十錢八分,故曰多。
又術:置後返歸一萬,以十乘之,十三而一,即後所持之本。加一萬一千,
又以十乘之,十三而一,即第四返之本。加一萬二千,又以十乘之,十三而一,
即第三返之本。加一萬三千,又以十乘之,十三而一,即第二返之本。加一萬四
千,又以十乘之,十三而一,即初持之本。並五返之錢以減之,即利也。〕
今有垣厚五尺,兩鼠對穿。大鼠日一尺,小鼠亦日一尺。大鼠日自倍,小鼠
日自半。問幾何日相逢?各穿幾何?答曰:二日一十七分日之二。大鼠穿三尺四
寸十七分寸之一十二,小鼠穿一尺五寸十七分寸之五。
術曰:假令二日,不足五寸;令之三日,有餘三尺七寸半。
〔大鼠日倍,二日合穿三尺;小鼠日自半,合穿一尺五寸;並大鼠所穿,合
四尺五寸。課於垣厚五尺,是為不足五寸。令之三日,大鼠穿得七尺,小鼠穿得
一尺七寸半。並之,以減垣厚五尺,有餘三尺七寸半。以盈不足術求之,即得。
以後一日所穿乘日分子,如日分母而一,即各得日分子之中所穿。故各增二日定
穿,即合所問也。〕
今有共買物,人出八,盈三;人出七,不足四。問人數、物價各幾何?答曰:
七人。物價五十三。
今有共買雞,人出九,盈一十一;人出六,不足十六。問人數、雞價各幾何?
答曰:九人。雞價七十。
今有共買璡,人出半,盈四;人出少半,不足三。問人數、璡價各幾何?答
曰:四十二人。璡價十七。
〔注云“若兩設有分者,齊其子,同其母”,此問兩設俱見零分,故齊其子,
同其母。又雲“令下維乘上。訖,以同約之”,不可約,故以乘,同之。〕
今有共買牛,七家共出一百九十,不足三百三十;九家共出二百七十,盈三
十。問家數、牛價各幾何?答曰:一百二十六家。牛價三千七百五十。
〔按:此術並盈不足者,為眾家之差,故以為實。置所出率,各以家數除之,
各得一家所出率。以少減多者,得一家之差。以除,即家數。以出率乘之,減盈,
故得牛價也。〕
術曰:置所出率,盈不足各居其下。令維乘所出率,並,以為實。並盈、不
足,為法。實如法而一。
〔按:盈者,謂朓;不足者,謂之朒;所出率謂之假令。盈、朒維乘兩
設者,欲為同齊之意。據“共買物,人出八,盈三;人出七,不足四”,齊其假
令,同其盈、朒,盈、朒俱十二。通計齊則不盈不朒之正數,故可並之為
實,並盈、不足為法。齊之三十二者,是四假令,有盈十二;齊之二十一者,是
三假令,亦朒十二;並七假令合為一實,故並三、四為法。〕
有分者通之。
〔若兩設有分者,齊其子,同其母。令下維乘上,訖,以同約之。〕
盈不足相與同其買物者,置所出率,以少減多,余,以約法、實。實為物價,
法為人數。
〔“所出率以少減多”者,余,謂之設差,以為少設。則並盈、朒,是為
定實。故以少設約定實,則法,為人數;適足之實故為物價。盈朒當與少設相
通。不可遍約,亦當分母乘,設差為約法、實。〕
其一術曰:並盈、不足為實。以所出率,以少減多,余為法。實如法得一人。
以所出率乘之,減盈、增不足,即物價。
〔此術意謂盈不足為眾人之差。以所出率以少減多,余為一人之差。以一人
之差約眾人之差,故得人數也。〕
今有共買金,人出四百,盈三千四百;人出三百,盈一百。問人數、金價各
幾何?答曰:三十三人。金價九千八百。
今有共買羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三。問人數、羊價各幾何?
答曰:二十一人。羊價一百五十。
術曰:置所出率,盈、不足各居其下。令維乘所出率,以少減多,余為實。
兩盈、兩不足以少減多,余為法。實如法而一。有分者,通之。兩盈兩不足相與
同其買物者,置所出率,以少減多,余,以約法、實。實為物價,法為人數。
〔按:此術兩不足者,兩設皆不足於正數。其所以變化,猶兩盈。而或有勢
同而情違者。當其為實,俱令不足維乘相減,則遺其所不足焉。故其餘所以為實
者,無朒數以損焉。蓋出而有餘,兩盈。兩設皆逾於正數。假令與共買物,人
出八,盈三;人出九,盈十。齊其假令,同其兩盈。兩盈俱三十。舉齊則兼去。
其餘所以為實者,無盈數。兩盈以少減多,余為法。齊之八十者,是十假令;而
凡盈三十者,是十,以三之;齊之二十七者,是三假令;而凡盈三十者,是三,
以十之。今假令兩盈共十、三,以三減十,餘七,為一實。故令以三減十,餘七
為法。所出率以少減多,余謂之設差。因設差為少設,則兩盈之差是為定實。故
以少設約法得人數,約實即得金數。〕
其一術曰:置所出率,以少減多,余為法。兩盈、兩不足以少減多,余為實。
實如法而一,得人數。以所出率乘之,減盈、增不足,即物價。
〔“置所出率,以少減多”,得一人之差。兩盈、兩不足相減,為眾人之差。
故以一人之差除之,得人數。以所出率乘之,減盈、增不足,即物價。〕
今有共買犬,人出五,不足九十;人出五十,適足。問人數、犬價各幾何?
答曰:二人。犬價一百。
今有共買豕,人出一百,盈一百;人出九十,適足。問人數、豕價各幾何?
答曰:一十人。豕價九百。
術曰:以盈及不足之數為實。置所出率,以少減多,余為法。實如法得一人。
其求物價者,以適足乘人數,得物價。
〔此術意謂以所出率,以少減多者,余是一人不足之差。不足數為眾人之差。
以一人差約之,故得人之數也。以盈及不足數為實者,數單見,即眾人差,故以
為實。所出率以少減多,即一人差,故以為法。以除眾人差,得人數。以適足乘
人數,即得物價也。〕
今有米在十斗桶中,不知其數。滿中添粟而舂之,得米七斗。問故米幾何?
答曰:二斗五升。
術曰:以盈不足術求之。假令故米二斗,不足二升;令之三斗,有餘二升。
〔按:桶受一斛,若使故米二斗,須添粟八斗以滿之。八斗得糲米四斗八升,
課於七斗,是為不足二升。若使故米三斗,須添粟七斗以滿之。七斗得糲米四斗
二升,課於七斗,是為有餘二升。以盈不足維乘假令之數者,欲為齊同之意。為
齊同者,齊其假令,同其盈朒。通計齊即不盈不朒之正數,故可以並之為實,
並盈、不足為法。實如法,即得故米斗數,乃不盈不朒之正數也。〕
今有垣高九尺。瓜生其上,蔓日長七寸;瓠生其下,蔓日長一尺。問幾何日
相逢?瓜、瓠各長几何?答曰:五日十七分日之五。瓜長三尺七寸一十七分寸之
一。瓠長五尺二寸一十七分寸之一十六。
術曰:假令五日,不足五寸;令之六日,有餘一尺二寸。
〔按:“假令五日,不足五寸”者,瓜生五日,下垂蔓三尺五寸;瓠生五日,
上延蔓五尺;課於九尺之垣,是為不足五寸。“令之六日,有餘一尺二寸”者,
若使瓜生六日,下垂蔓四尺二寸;瓠生六日,上延蔓六尺;課於九尺之垣,是為
有餘一尺二寸。以盈、不足維乘假令之數者,欲為齊同之意。齊其假令,同其盈
朒。通計齊即不盈不朒之正數,故可並以為實,並盈、不足為法。實如法而
一,即設差不盈不朒之正數,即得日數。以瓜、瓠一日之長乘之,故各得其長
之數也。〕
今有蒲生一日,長三尺;莞生一日,長一尺。蒲生日自半,莞生日自倍。問
幾何日而長等?答曰:二日十三分日之六。各長四尺八寸一十三分寸之六。
術曰:假令二日,不足一尺五寸;令之三日,有餘一尺七寸半。
〔按:“假令二日,不足一尺五寸”者,蒲生二日,長四尺五寸;莞生二日,
長三尺;是為未相及一尺五寸,故曰不足。“令之三日,有餘一尺七寸半”者,
蒲增前七寸半,莞增前四尺,是為過一尺七寸半,故曰有餘。以盈不足乘除之。
又以後一日所長各乘日分子,如日分母而一者,各得日分子之長也。故各增二日
定長,即得其數。〕
今有醇酒一斗,直錢五十;行酒一斗,直錢一十。今將錢三十,得酒二斗。
問醇、行酒各得幾何?答曰:醇酒二升半。行灑一斗七升半。
術曰:假令醇酒五升,行酒一斗五升,有餘一十;令之醇酒二升,行酒一斗
八升,不足二。
〔據醇酒五升,直錢二十五;行酒一斗五升,直錢一十五;課於三十,是為
有餘十。據醇酒二升,直錢一十;行酒一斗八升,直錢一十八;課於三十,是為
不足二。以盈不足術求之。此問已有重設及其齊同之意也。〕
今有大器五,小器一,容三斛;大器一,小器五,容二斛。問大、小器各容
幾何?答曰:大器容二十四分斛之十三。小器容二十四分斛之七。
術曰:假令大器五斗,小器亦五斗,盈一十斗;令之大器五斗五升,小器二
斗五升,不足二斗。
〔按:大器容五斗,大器五容二斛五斗。以減三斛,餘五斗,即小器一所容。
故曰“小器亦五斗”。小器五容二斛五斗,大器一,合為三斛。課於兩斛,乃多
十斗。令之大器五斗五升,大器五合容二斛七斗五升。以減三斛,餘二斗五升,
即小器一所容。故曰小器二斗五升”。大器一容五斗五升,小器五合容一斛二斗
五升,合為一斛八斗。課於二斛,少二斗。故曰“不足二斗”。以盈不足維乘,
除之。〕
今有漆三得油四,油四和漆五。今有漆三斗,欲令分以易油,還自和余漆。
問出漆、得油、和漆各幾何?答曰:出漆一斗一升四分升之一。得油一斗五升。
和漆一斗八升四分升之三。
術曰:假令出漆九升,不足六升;令之出漆一斗二升,有餘二升。
〔按:此術三斗之漆,出九升,得油一斗二升,可和漆一斗五升,余有二斗
一升,則六升無油可和,故曰“不足六升”。令之出漆一斗二升,則易得油一斗
六升,可和漆二斗。於三斗之中已出一斗二升,余有一斗八升。見在油合和得漆
二斗,則是有餘二升。以盈、不足維乘之,為實。並盈、不足為法。實如法而一,
得出漆升數。求油及和漆者,四、五各為所求率,三、四各為所有率,而今有之,
即得也。〕
今有玉方一寸,重七兩;石方一寸,重六兩。今有石立方三寸,中有玉,並
重十一斤。問玉、石重各幾何?答曰:玉一十四寸,重六斤二兩。石一十三寸,
重四斤一十四兩。
術曰:假令皆玉,多十三兩;令之皆石,不足一十四兩。不足為玉,多為石。
各以一寸之重乘之,得玉、石之積重。
〔立方三寸是一面之方,計積二十七寸。玉方一寸重七兩,石方一寸重六兩,
是為玉、石重差一兩。假令皆玉,合有一百八十九兩。課於一十一斤,有餘一十
三兩。玉重而石輕,故有此多。即二十七寸之中有十三寸,寸損一兩,則以為石
重,故言多為石。言多之數出於石以為玉。假令皆石,合有一百六十二兩。課於
十一斤,少十四兩,故曰不足。此不足即以重為輕。故令減少數於並重,即二十
七寸之中有十四寸,寸增一兩也。〕
今有善田一畝,價三百;惡田七畝,價五百。今並買一頃,價錢一萬。問善、
惡田各幾何?答曰:善田一十二畝半。惡田八十七畝半。
術曰:假令善田二十畝,惡田八十畝,多一千七百一十四錢七分錢之二;令
之善田一十畝,惡田九十畝,不足五百七十一錢七分錢之三。
〔按:善田二十畝,直錢六千;惡田八十畝,直錢五千七百一十四、七分錢
之二,課於一萬,是多一千七百一十四、七分錢之二。令之善田十畝,直錢三千;
惡田九十畝,直錢六千四百二十八、七分錢之四;課於一萬,是為不足五百七十
一、七分錢之三。以盈不足術求之也。〕
今有黃金九枚,白銀一十一枚,稱之重,適等。交易其一,金輕十三兩。問
金、銀一枚各重幾何?答曰:金重二斤三兩一十八銖。銀重一斤一十三兩六銖。
術曰:假令黃金三斤,白銀二斤一十一分斤之五,不足四十九,於右行。令
之黃金二斤,白銀一斤一十一分斤之七,多一十五,於左行。以分母各乘其行內
之數。以盈、不足維乘所出率,並,以為實。並盈、不足為法。實如法,得黃金
重。分母乘法以除,得銀重。約之得分也。
〔按:此術假令黃金九,白銀一十一,俱重二十七斤。金,九約之,得三斤;
銀,一十一約之,得二斤一十一分斤之五;各為金、銀一枚重數。就金重二十七
斤之中減一金之重,以益銀,銀重二十七斤之中減一銀之重,以益金,則金重二
十六斤一十一分斤之五,銀重二十七斤一十一分斤之六。以少減多,則金輕一十
七兩一十一分兩之五。課於一十三兩,多四兩一十一分兩之五。通分內子言之,
是為不足四十九。又令之黃金九,一枚重二斤,九枚重一十八斤;白銀一十一,
亦合重一十八斤也。乃以一十一除之,得一斤一十一分斤之七,為銀一枚之重數。
今就金重一十八斤之中減一枚金,以益銀;復減一枚銀,以益金,則金重一十七
斤一十一分斤之七,銀重一十八斤一十一分斤之四。以少減多,即金輕一十一分
斤之八。課於一十三兩,少一兩一十一分兩之四。通分內子言之,是為多一十五。
以盈不足為之,如法,得金重。分母乘法以除者,為銀兩分母,故同之。須通法
而後乃除,得銀重。余皆約之者,術省故也。〕
今有良馬與駑馬髮長安,至齊。齊去長安三千里。良馬初日行一百九十三里,
日增一十三里,駑馬初日行九十七里,日減半里。良馬先至齊,復還迎駑馬。問
幾何日相逢及各行幾何?答曰:一十五日一百九十一分日之一百三十五而相逢。
良馬行四千五百三十四里一百九十一分里之四十六。駑馬行一千四百六十五里一
百九十一分里之一百四十五。
術曰:假令十五日,不足三百三十七里半;令之十六日,多一百四十里。以
盈、不足維乘假令之數,並而為實。並盈、不足為法。實如法而一,得日數。不
盡者,以等數除之而命分。求良馬行者:十四乘益疾里數而半之,加良馬初日之
行里數,以乘十五日,得十五日之凡行。又以十五日乘益疾里數,加良馬初日之
行。以乘日分子,如日分母而一。所得,加前良馬凡行里數,即得。其不盡而命
分。求駑馬行者:以十四乘半里,又半之,以減駑馬初日之行里數,以乘十五日,
得駑馬十五日之凡行。又以十五日乘半里,以減駑馬初日之行,余,以乘日分子,
如日分母而一。所得,加前里,即駑馬定行里數。其奇半里者,為半法。以半法
增殘分,即得。其不盡者而命分。
〔按:“令十五日,不足三百三十七里半”者,據良馬十五日凡行四千二百
六十里,除先去齊三千里,定還迎駑馬一千二百六十里;駑馬十五日凡行一千四
百二里半,並良、駑二馬所行,得二千六百六十二里半。課於三千里,少三百三
十七里半。故曰不足。“令之十六日,多一百四十里”者,據良馬十六日凡行四
千六百四十八里;除先去齊三千里,定還迎駑馬一千六百四十八里,駑馬十六日
凡行一千四百九十二里。並良、駑二馬所行,得三千一百四十里。課於三千里,
余有一百四十里。故謂之多也。以盈不足之,實如法而一,得日數者,即設差不
盈不朒之正數。以二馬初日所行里乘十五日,為一十五日平行數。求初末益疾
減遲之數者,並一與十四,以十四乘而半之,為中平之積。又令益疾減遲里數乘
之,各為減益之中平里。故各減益平行數,得一十五日定行里。若求後一日,以
十六日之定行里數乘日分子,如日分母而一,各得日分子之定行里數。故各並十
五日定行里,即得。其駑馬奇半里者,法為全里之分,故破半里為半法,以增殘
分,即合所問也。〕
今有人持錢之蜀賈,利十,三。初返歸一萬四千,次返歸一萬三千,次返歸
一萬二千,次返歸一萬一千,後返歸一萬。凡五返歸錢,本利俱盡。問本持錢及
利各幾何?答曰:本三萬四百六十八錢三十七萬一千二百九十三分錢之八萬四千
八百七十六。利二萬九千五百三十一錢三十七萬一千二百九十三分錢之二十八萬
六千四百一十七。
術曰:假令本錢三萬,不足一千七百三十八錢半;令之四萬,多三萬五千三
百九十錢八分。
〔按:假令本錢三萬,並利為三萬九千;除初返歸留,余,加利為三萬二千
五百;除二返歸留,余,又加利為二萬五千三百五十;除第三返歸留,余,又加
利為一萬七千三百五十五;除第四返歸留,余,又加利為八千二百六十一錢半;
除第五返歸留,合一萬錢,不足一千七百三十八錢半。若使本錢四萬,並利為五
萬二千;除初返歸留,余,加利為四萬九千四百;除第二返歸留,余,又加利為
四萬七千三百二十;除第三返歸留,余,又加利為四萬五千九百一十六;除第四
返歸留,余,又加利為四萬五千三百九十錢八分;除第五返歸留,合一萬,餘三
萬五千三百九十錢八分,故曰多。
又術:置後返歸一萬,以十乘之,十三而一,即後所持之本。加一萬一千,
又以十乘之,十三而一,即第四返之本。加一萬二千,又以十乘之,十三而一,
即第三返之本。加一萬三千,又以十乘之,十三而一,即第二返之本。加一萬四
千,又以十乘之,十三而一,即初持之本。並五返之錢以減之,即利也。〕
今有垣厚五尺,兩鼠對穿。大鼠日一尺,小鼠亦日一尺。大鼠日自倍,小鼠
日自半。問幾何日相逢?各穿幾何?答曰:二日一十七分日之二。大鼠穿三尺四
寸十七分寸之一十二,小鼠穿一尺五寸十七分寸之五。
術曰:假令二日,不足五寸;令之三日,有餘三尺七寸半。
〔大鼠日倍,二日合穿三尺;小鼠日自半,合穿一尺五寸;並大鼠所穿,合
四尺五寸。課於垣厚五尺,是為不足五寸。令之三日,大鼠穿得七尺,小鼠穿得
一尺七寸半。並之,以減垣厚五尺,有餘三尺七寸半。以盈不足術求之,即得。
以後一日所穿乘日分子,如日分母而一,即各得日分子之中所穿。故各增二日定
穿,即合所問也。〕
0
猜你喜歡
卷八十 列傳第三十
《舊唐書》 ○褚遂良 韓瑗 來濟 上官周書 微子之命第十
《尚書》 成王既黜殷命,殺武庚,命微子啟代卷一百三十九 志第九十二
《宋史》 ◎樂十四(樂章八) ○恭上卷二百五十七 列傳第十六
《宋史》 ○吳廷祚(子元輔 元載 元扆志第十 天文上
《後漢書》 王莽三 光武十二 《易》原其初心,觀其末路
《菜根譚》安娜_卡列寧娜(上)-第1部-32
《安娜·卡列尼娜》 家包法利夫人(下)-第三部-08
《包法利夫人》 她幻滅(下)-第三部-發明家的苦難-下編-15-為什麼罪犯總要誘人墮落
《幻滅》 西卷一 本紀第一
《陳書》 ◎高祖上 高祖武皇帝,諱霸慎大覽第三
《呂氏春秋》 一曰:賢主愈大愈懼,愈強愈恐。凡阿格尼絲_格雷-第08章-初次進入社交界
《阿格尼絲_格雷》 默卷二十九 列傳第十
《南齊書》 ◎呂安國(全景文) 周山圖言語第二
《世說新語》 1.邊文禮見袁奉高,失次序。奉高卷六十四上 嚴朱吾丘主父徐嚴終王賈傳第三十四上
《漢書》 嚴助,會稽吳人,嚴夫子子也,或言第二十七回 美髯公千里走單騎 漢壽侯五關斬六將
《三國演義》 卻說曹操部下諸將中,自張遼而外,格蘭特船長的兒女(上)-第三章
《格蘭特船長的兒女》 7卷一百七十二 列傳第一百二十二
《舊唐書》 ○令狐楚(弟定 子緒 綯第六十八回 甘寧百騎劫魏營 左慈擲杯戲曹操
《三國演義》 卻說孫權在濡須口收拾軍馬,忽報曹卷三十五 論語十七
《朱子語類》 ◎泰伯篇 △泰伯其可謂至德章